最喜歡通俗易懂地解釋一個事情。
一、共變異數：
可以通俗的理解為：兩個變量在變化過程中是同方向變化？還是反方向變化？同向或反向程度如何？
你變大，同時我也變大，說明兩個變量是同向變化的，這時共變異數就是正的。
你變大，同時我變小，說明兩個變量是反向變化的，這時共變異數就是負的。
從數值來看，共變異數的數值越大，兩個變量同向程度也就越大。反之亦然。
咱們從公式出發來理解一下：
Cov(X,Y)=E[(X-\mu _{x})(Y-\mu _{y})]
公式簡單轉譯一下是：如果有X,Y兩個變量，每個時刻的「X值與其均值之差」乘以「Y值與其均值之差」得到一個乘積，再對這每時刻的乘積求和並求出均值（其實是求「期望」，但就不引申太多新概念了，簡單認為就是求均值了）。
下面舉個例子來說明吧：
比如有兩個變量X,Y，觀察t1-t7（7個時刻）他們的變化情況。
簡單做了個圖：分別用紅點和綠點表示X、Y，橫軸是時間。可以看到X，Y均圍繞各自的均值運動，並且很明顯是同向變化的。
這時，我們發現每一時刻X-\mu _{x} 的值與Y-\mu _{y} 的值的「正負號」一定相同（如下圖：比如t1時刻，他們同為正，t2時刻他們同為負）：
所以，像上圖那樣，當他們同向變化時，X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積為正。這樣，當你把t1-t7時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積加在一起，求平均後也就是正數了。
如果反向運動呢？
很明顯，X-\mu _{x} 的值與Y-\mu _{y} 的值的「正負號」一定相反，於是X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積就是負值了。這樣當你把t1-t7時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積加在一起，求平均的時候也就是負數了。
當然上面說的是兩種特殊情況，很多時候X，Y的運動是不規律的，比如：
這時，很可能某一時刻X-\mu _{x} 的值與Y-\mu _{y} 的值乘積為正，另外一個時刻X-\mu _{x} 的值與Y-\mu _{y} 的值乘積為負。
將每一時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積加在一起，其中的正負項就會抵消掉，最後求平均得出的值就是共變異數，透過共變異數的數值大小，就可以判斷這兩個變量同向或反向的程度了。
所以，t1-t7時刻中，X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積為正的越多，說明同向變化的次數越多，也即同向程度越高。反之亦然。
總結一下，如果共變異數為正，說明X，Y同向變化，共變異數越大說明同向程度越高；如果共變異數為負，說明X，Y反向運動，共變異數越小說明反向程度越高。
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一般的同學看到above the line的內容就ok了。但有一些愛鉆研的同學，可能會進一步提問：
那如果X，Y同向變化，但X大於均值，Y小於均值，那X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積為負值啊？這不是矛盾了嗎？
那就繼續往下看……
這種情況是有可能出現的，比如：
可以看到，t1時刻，X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的符號相反，他們的乘積為負值。
但是，總體看，這兩個變量的共變異數仍然是正的，因為你還要計算t2，t3……t7時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積，然後再把這7個時刻的乘積求和做均值，才是最後X，Y的共變異數。1個負、6個正，顯然最後共變異數很大可能性是正的。
所以t1時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積為負值，並不能說明他們反向運動，要結合整體的情況來判斷。
那麽你可能又要問了，既然都是同向變化，那t1時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積為負值、其他時刻乘積為正的這種情況，與，t1-t7時刻X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的乘積均為正值的情況，到底有什麽差異呢？這點其實前面也解釋過了，差異就是：第一種情況的同向程度不如第二種情況的同向程度大（第一種情況6正1負，第二種情況7正，所以第一種情況的共變異數小於第二種情況的共變異數，第一種情況X，Y變化的同向程度要小於第二種情況）。
另外，如果你還鉆牛角尖，說如果t1，t2，t3……t7時刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，這種情況共變異數不就是負的了？7個負值求平均肯定是負值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向變化的，這不就矛盾了？
這個更好解釋了：這種情況不可能出現！
因為，你的均值算錯了……
X，Y的值應該均勻的分布在均值兩側才對，不可能都比均值大，或都比均值小。
所以，實際它的圖應該是下面這樣的：
發現沒有，又變成X-\mu _{x} 與Y-\mu _{y} 的符號相同的情況了～有沒有種被大自然打敗的感覺～
好了，現在，對於共變異數應該有點感覺了吧？
二、相關系數：
對於相關系數，我們從它的公式入手。一般情況下，相關系數的公式為：
轉譯一下：就是用X、Y的共變異數除以X的標準差和Y的標準差。
所以，相關系數也可以看成共變異數：一種剔除了兩個變量因次影響、標準化後的特殊共變異數。
既然是一種特殊的共變異數，那它：
1、也可以反映兩個變量變化時是同向還是反向，如果同向變化就為正，反向變化就為負。
2、由於它是標準化後的共變異數，因此更重要的特性來了：它消除了兩個變量變化振幅的影響，而只是單純反應兩個變量每單位變化時的相似程度。
比較抽象，下面還是舉個例子來說明：
首先，還是承接上文中的變量X、Y變化的示意圖（X為紅點，Y為綠點），來看兩種情況：
很容易就可以看出以上兩種情況X，Y都是同向變化的，而這個「同向變化」，有個非常顯著特征： X、Y同向變化的過程，具有極高的相似度！ 無論第一還是第二種情況下，都是：t1時刻X、Y都大於均值，t2時刻X、Y都變小且小於均值，t3時刻X、Y繼續變小且小於均值，t4時刻X、Y變大但仍小於均值，t5時刻X、Y變大且大於均值……
可是，計算一下他們的共變異數，
第一種情況下：
[(100-0)\times (70-0) +( -100-0)\times ( -70-0)+(-200-0)\times (-200-0)...]\div 7\approx 15428.57
第二種情況下：
[(0.01-0)\times (70-0) +( -0.01-0)\times ( -70-0)+(-0.02-0)\times (-200-0)...]\div 7\approx 1.542857
共變異數差出了一萬倍，只能從兩個共變異數都是正數判斷出兩種情況下X、Y都是同向變化，但是，一點也看不出兩種情況下X、Y的變化都具有相似性這一特點。
這是為什麽呢？
因為以上兩種情況下，在X、Y兩個變量同向變化時，X變化的振幅不同，這樣，兩種情況的共變異數更多的被變量的變化振幅所影響了。
所以，為了能準確的研究兩個變量在變化過程中的相似程度，我們就要把變化振幅對共變異數的影響，從共變異數中剔除掉。於是，相關系數就橫空出世了，就有了最開始相關系數的公式：
那麽為什麽要透過除以標準差的方式來剔除變化振幅的影響呢？咱們簡單從標準差公式看一下：
從公式可以看出，標準差計算方法為，每一時刻變量值與變量均值之差再平方，求得一個數值，再將每一時刻這個數值相加後求平均，再開方。
「變量值與變量均值之差」X-\mu _{x} 是什麽呢？就是偏離均值的振幅：
那為何要對它做平方呢？因為有時候變量值與均值是反向偏離的（見下圖），X-\mu _{x} 是個負數，平方後，就可以把負號消除了。這樣在後面求平均時，每一項數值才不會被正負抵消掉，最後求出的平均值才能更好的體現出每次變化偏離均值的情況。
當然，最後求出平均值後並沒有結束，因為剛才為了消除負號，把X-\mu _{x} 進行了平方，那最後肯定要把求出的均值開方，將這個偏離均值的振幅還原回原來的量級。於是就有了下面標準差的公式：
所以標準差描述了變量在整體變化過程中偏離均值的振幅。共變異數除以標準差，也就是把共變異數中變量變化振幅對共變異數的影響剔除掉，這樣共變異數也就標準化了，它反應的就是兩個變量每單位變化時的情況。這也就是相關系數的公式含義了。
同時，你可以反過來想象一下：既然相關系數是共變異數除以標準差，那麽，當X或Y的波動振幅變大的時候，它們的共變異數會變大，標準差也會變大，這樣相關系數的分子分母都變大，其實變大的趨勢會被抵消掉，變小時也亦然。於是，很明顯的，相關系數不像共變異數一樣可以在＋\infty 到－\infty 間變化，它只能在＋1到－1之間變化（相關系數的取值範圍在＋1到－1之間變化可以透過施瓦茨不等式來證明，有些復雜，這裏就不贅述了，有興趣的可以google下）。
總結一下，對於兩個變量X、Y，
當他們的相關系數為1時，說明兩個變量變化時的正向相似度最大，即，你變大一倍，我也變大一倍；你變小一倍，我也變小一倍。也即是完全正相關（以X、Y為橫縱座標軸，可以畫出一條斜率為正數的直線，所以X、Y是線性關系的）。
隨著他們相關系數減小，兩個變量變化時的相似度也變小，當相關系數為0時，兩個變量的變化過程沒有任何相似度，也即兩個變量無關。
當相關系數繼續變小，小於0時，兩個變量開始出現反向的相似度，隨著相關系數繼續變小，反向相似度會逐漸變大。
當相關系數為－1時，說明兩個變量變化的反向相似度最大，即，你變大一倍，我變小一倍；你變小一倍，我變大一倍。也即是完全負相關（以X、Y為橫縱座標軸，可以畫出一條斜率為負數的直線，所以X、Y也是線性關系的）。
有了上面的背景，我們再回到最初的變量X、Y的例子中，可以先看一下第一種情況的相關系數：
X的標準差為
\sigma _{X} =\sqrt{E((X-\mu _{x})^{2} )} =\sqrt{[(100-0)^{2}+ (-100-0)^{2}...]\div 7} \approx 130.9307
Y的標準差為
\sigma _{Y} =\sqrt{E((Y-\mu _{y})^{2} )} =\sqrt{[(70-0)^{2}+ (-70-0)^{2}...]\div 7} \approx 119.2836
於是相關系數為
\rho =15428.57\div (130.9307\times 119.2836)\approx 0.9879
說明第一種情況下，X的變化與Y的變化具有很高的相似度，而且已經接近完全正相關了，X、Y幾乎就是線性變化的。
那第二種情況呢？
X的標準差為
\sigma _{X} =\sqrt{E((X-\mu _{x})^{2} )} =\sqrt{[(0.01-0)^{2}+ (-0.01-0)^{2}...]\div 7} \approx 0.01309307
Y的標準差為
\sigma _{Y} =\sqrt{E((Y-\mu _{y})^{2} )} =\sqrt{[(70-0)^{2}+ (-70-0)^{2}...]\div 7}\approx 119.2836
於是相關系數為
\rho =1.542857\div (0.01309307\times 119.2836)\approx 0.9879
說明第二種情況下，雖然X的變化振幅比第一種情況X的變化振幅小了10000倍，但是絲毫沒有改變「X的變化與Y的變化具有很高的相似度」這一結論。同時，由於第一種、第二種情況的相關系數是相等的，因此在這兩種情況下，X、Y的變化過程有著同樣的相似度。
好了，講了這麽多，不知你看完是否對相關系數也有了一些感覺？
三、寫在最後
本文主要還是想給非理工專業、入門級的各位朋友看的，自己也曾在茫茫公式海中痛苦過，但後來發現對一個公式的原理有了一個感覺後，它也就變得好記很多了，而且也願意深入研究它了。這篇文章也就是培養你對於共變異數、相關系數的這種感覺。但是，為了通俗易懂，有些地方也不夠全面、嚴謹。也許你看完本文，經過自己的學習研究，也會有自己的一些想法，那你可以繼續研究一下本題目下其他答主的答案，透過引入向量、內積等定義，會把共變異數、相關系數說明得更加嚴謹和透徹。總之學習是一個循序漸進的過程，不要覺得徹底明白了什麽，那往往是你踏入一個領域的第一步。
（完）
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