題主所提到與運動方向同向的光速問題還真就不能直接回答，咱們必須換一個角度，先研究一下光與運動方向垂直時的情況。隨著一步一步遞推下來，水到渠成，問題就迎刃而解了。（放心，我只用了一點簡單的代數，上過中學的人都應該看得懂）
那麽先想象這樣一個場景：
【思想實驗一】 [1]
觀察者B站在地面上。頭頂有一艘飛船，以速度v [2] ，在平行於地面的方向上，勻速向右飛行。飛船上安裝了一台光子鐘，儀器的下端有發射器向上發射光子，儀器上端則裝有鏡面，光子被鏡面反射向下，回到下端初始位置時由探測器接收。此鐘可測出光子從發射到返回所經過的時長。太空人A在飛船上記錄光子鐘的讀數。對他而言，光子是在垂直的方向上做往返運動，光子的發射與接收發生在 同一位置 。
由於飛船相對於地面有一個水平方向的速度v，那麽對地面的觀察者B而言（假定他也能看到飛船中的一切），飛船上光子鐘裏光子所走的路線則是斜上斜下的「人」字形，光子的發射和接收發生在水平方向一左一右 兩個不同的位置 上 。
設光子鐘上下兩端的間距為D，觀察者A所觀測到的光子的往返路程為2D，時長為τ；地面觀察者B所觀測的光子上行和下行路徑長度同為S，光子往返的總路程為2S，時長為t。
速度= 距離/時間
兩個觀察者都可以根據自己測得的時間和距離算出光速，那麽 光速不變 即意味著
\frac{2D}{\tau} = \frac{2S}{t} = c
即 * 距離與時長的比值不變 *！
飛船相對於地面的速度 v 是明確的，那麽從光子的發射到接收，飛船在水平方向上所透過的距離對地面觀察者B而言就等於 vt。令 2L=vt ，我們即可得出如下圖所示的兩個全等直角三角形。
根據畢達哥拉斯定理（勾股定理）， S^2 = D^2 + L^2 ，若將A、B二人所記錄的時長、距離以及不變的光速c代入，即可得：
\begin{align} S^2 =& D^2 +L^2\\ (ct)^2 =& (c\tau)^2 + (vt)^2\\ c^2t^2 =& c^2\tau^2+v^2t^2\\ (c^2 -v^2)t^2 =& c^2\tau^2\\ t^2 =& \frac{c^2}{c^2-v^2}\tau^2\\ \color{red}{t} = &\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\color{violet}{\tau} \end{align}
τ 前面的這個系數 \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} 就叫做 勞侖茲因子 ，記作 γ 。也就是說，B所記錄的光子的往返時長 t 跟A所記錄的時長 τ 是不一樣的。如果你把A、B兩者的相對速度 v 代入，假令 v = 0.5c，會發現 γ = 1.1547 > 1。 \because v <c ,\therefore \gamma > 1 。
同樣的兩個事件的間隔（光子的發射和接收）在B參照系裏的耗時比A參照系裏的長，或者反過來說，A的時鐘比B的時鐘走得慢——這就是「 時間膨脹 」。
於是你要問了。既然速度 v 是相對的，對地球上的 B 而言，飛船上的時鐘變慢了，對飛船上的A而言地球上的時鐘是不是也變慢了呢？—— 確實如此 。所以我們必須回過頭來留意一下前文中加了黑體的條件：對飛船上的 A 而言，兩個事件是發生在同一位置的。因此，他所測得的時間就叫作 原時 （或曰原時間 proper time）。而對地面上的 B 而言，兩事件發生在不同位置，那麽他所測得的時間就是 γτ 。當然，如果把實驗顛倒過來，把光子鐘放在地面上，地面上測得的時間就成了原時了。
速度總是相對的， A 相對於 B 的速度是 v， 那麽 B 相對於 A 的速度也必然是 v，於是問題來了。回看一下上圖的三角形，光子的往返過程中，飛船相對於B向右橫向移動了 2L 的距離。B觀察到，光子鐘收發點的水平位置從 x_0 移動到了 x_1 。既然 v_A = v_B ，那不就意味著 \frac{2L}{t} = v = \frac{?}{\tau} 嘛！對飛船上的A而言，地面相對於他自己是在向左移動。難道在光子往返的 τ 時間內，地面移動的距離竟然不是2L？沒錯！ 將勞侖茲因子代入，
\begin{align} \frac{2L}{t} =& \frac{2L'}{\tau}\\ \frac{2L}{\gamma \tau} =& \frac{2L'}{\tau}\\ L' =& \frac{1}{\gamma}L \end{align}
對地面上的B而言， x_0 和 x_1 兩個點（位置）是靜止的，我們把相對於觀察者靜止的兩點間的距離稱作 原長度 （或曰固有長度 proper length），通常記作 L_0 。而相對兩個點運動的觀察者所測得的兩點間的距離（如前面式子中的L'）則是原長度的1/γ 倍（恒< 1）。也就是說，飛船裏A所量得的水平方向上相對其運動的長度（比如飛船的飛行路程）是短於地面上B所量得的靜止長度的，我們把這個現象就叫做「 長度收縮 」。
還有一個問題，那就是與運動方向垂直的長度。就比方說這個光子鐘的上下兩端的間距，會不會對A、B而言也不一樣呢？倘若D_A \neq D_B ，以上的一連串推導就都不成立了。看下圖：
【思想實驗二】
兩男孩（S' 和 S）各拿一把靜止時長度為1米的直尺，垂直舉起。男孩S'的尺子上端固定了一個蘸了墨的毛刷。S在地面站定，而S'以極高的速度 v 向著與S稍稍錯開一點的方向滑行過來。當兩者擦肩而過時，兩人尺子的下端距地高度相同，尺間的距離也是毛刷能夠得到的。如果事後S檢查自己的尺子M，發現上端下面一點有一道墨跡，就說明，S'的尺子M' 比自己尺子M短。然而速度是相對的。對S'而言，自己才是靜止的，是 S 以速度v迎面而來，如果以高速 v 運動會使豎直方向的尺子變短的化，在兩人交會的一剎那，S'會看到自己尺子上的毛刷在對方尺頭上空劃過。事後檢查，S的M尺上應該沒有墨跡。毛刷在尺子上畫出墨跡這件事怎麽能既發生又不發生呢？這明顯是個悖論。所以說，垂直於運動方向的兩把尺子必定是等長的，即 D_A = D_B 。
Okay, 終於可以討論「追光」的問題了。還是一開始設定的那個場景，只不過，這回飛船上的光子鐘橫過來裝。讓光子鐘收發和反射兩端的間距正好等於飛船的長度。如下圖：
【思想實驗三】
飛船上的A量得的飛船長度是 L_0 ，因為A相對於飛船的兩端靜止，所以這個長度就是原長度。又對A而言，光子的發射接收發生在同處，所以他測得的時長 τ 也就是原時。於是他的光路方程式就是 2L_0 = c\tau 。（圖示的上半部份）
地面上的B量得的飛船長度是L。他所觀測到的光子的路徑 S 由前進階段的 S_1 和返回階段的 S_2 兩段組成。（圖示下半部份）
我們需要先搞清楚 S_1、S_2 跟船體長度 L 的關系。先假定光子走完 S_1 所經過的時間為 t_1 ， S_2 所對應的則為 t_2 。那麽
S_1 = ct_1 = L + vt_1 \implies L = (c-v)t_1 ，進而知 \frac{S_1}{L} = \frac{c\cancel{t_1}}{(c-v)\cancel{t_1}} 。同理， S_2 = ct_2 = L - vt_2 \implies L = (c+v)t_2 \implies \frac{S_2}{L} =\frac{c}{c+v} 。於是 \frac{S}{2L}=\frac{S_1 +S_2}{2L} = \frac{c^2}{c^2-v^2} =\frac{1}{1-(v/c)^2} 。
又由於長度收縮， L = \frac{L_0}{\gamma} \implies S = \frac{S}{2L}\cdot \frac{2L_0}{\gamma}= \frac{1}{1-(v/c)^2}\cdot\sqrt{1-(v/c)^2}\cdot L_0 = \gamma \cdot 2L_0
也就是說，地面所觀察到的光子路程是飛船上所觀察到的γ倍。
又由於時間膨脹，地面觀測到的光子往返時間 t = \gamma \tau 。
\frac{S}{t} = \frac{\cancel{ \gamma} \cdot 2L_0}{\cancel{\gamma} \tau} = c
——理解了沒？
參考
- ^ 本文所舉之「實驗一」「實驗二」，以及對「時間膨脹」「長度收縮」的解釋均取材於Rice大學的Openstax教材【University Physics Volume III】 https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-3
- ^ 本文所言的「速度」嚴格來講，所指都是「速率」（speed），而非向量的「速度」（velocity）。光速不變的速，指的就是speed。我之所以選用這種含混的說法，是因為我覺得漢語的「速率」一詞太拗口。
