很有意思的問題。
套利策略首先一定是自融資的。定義或有憑證 C_{T} 是一個 \mathcal{F}_T-measurable 的隨機變量，即
C_T = C_0 + \int_{0}^{T} H_t d S_t
其中 H_t 就是我們的交易策略，在連續時間下表現為在 \left[ t, \ t+dt \right] 時對股票 S 的持倉比例。那麽自融資就時這樣一回事：
\sum_{j=0}^{d}{H_t^j S_t^j} = \sum_{j=0}^{d}{H_{t+1}^j S_t^j}
這樣一個交易策略會不停地做rebalance，也就是動態對沖。構建這樣一個組合的初始凈值應該是V_0 =\sum_{j=0}^{d}{H_{1}^j S_0^j}=0 .
對於無風險套利的資產凈值 V_t ，有這麽幾個特征：
- V_0=0
- V_T>0
- P \left[ V_T<0 \right]=0
這個特征十分明顯，那就是無風險套利有天然的收斂時間 T 。
而對於統計套利，以及期現套利/跨期套利等等有風險套利，並不存在這樣特定的收斂時間，本質上都是asympototic無風險套利，也就是 T\rightarrow + \infty 的條件下，套利都成為了無風險套利。大神Robert Jarrow等人曾針對統計套利給出這樣的定義：
- V_0=0
- \lim_{t \rightarrow +\infty} \mathbb{E} \left[ V_t \right]>0
- \lim_{t \rightarrow +\infty} P \left[ V_t<0 \right]=0
- \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{ \mathbb{Var} (V_t)}{t} =0 \ \ \text{if} \ \ P \left[ V_t<0 \right]>0, \ \forall \ t < +\infty
後來他們把第4條做了改進：
\lim_{t \rightarrow + \infty}\mathbb{Var} \left[ \Delta V_t \mid \Delta V_{t} <0 \right] =0
改進的原因在於避免將正的 \Delta V_{t} 也當作風險。
如果假設 \Delta V_{t} 存在一個數據生成過程，即
\Delta V_t = \mu t^{\theta} + \sigma t^{\lambda}z_t
那麽對於參數 \theta 和 \lambda 來講，只有在一定範圍記憶體在套利正收益的可能。反之，就不能稱之為套利策略了。
