第一，古希臘數學為什麽發展出了幾何演繹體系，而中國沒有？
第二，為什麽中國的數學最後衰弱了沒有發展出現代數學，而西方數學可以？
第三，中國傳統文化對數學有沒有阻礙作用？
對於這些問題的討論，最常見的誤區就是將中西數學史的比較看成是，各種文明在一條標準跑道上從初等數學開始的智力賽跑，誰先摘到高等數學的成果誰就贏。在這樣一個體系下面，數學知識從初等到高等有著明晰的進階路線圖。搞完加減學乘除，搞完乘除學分數，搞完分數，搞負數整數有理數，一路上去搞到微積分，抽象代數等等高等科目。這種「標準跑道」的錯覺是源於我們所接受的數學教育其實是經過18世紀之後數學家進行重整再梳理再塑造的結果。這種再梳理的前提在於，現代科學技術的發展，已經抹平了數學家面前絕大多數的物質鴻溝。比如說，開普勒處理第谷的天文數據耗費了他一生的心血，而這些數據拿到現在一個高中生就能在電腦軟件輔助下快速地獲得結果。這之間的差異其實就是物質鴻溝上的巨大差異，只有這些物質鴻溝被填平，我們才會進入到所謂的「標準賽道」，進行單純的智力角逐。
但是從歷史的角度來看，這種「標準跑道」基本上是不存在的。在物質鴻溝沒有被填平之前，不同文明腳下的賽道狀況可能就如一馬平川草原和崎嶇盤桓的山地一樣差異巨大。有一些文明可以如橫掃千軍一樣在數學上突飛猛進，而有些文明則要非常幸苦的才能爬出山坳。
因此要回答這些問題，首先要對「古代」這個詞進行比較嚴格的分期。如果我們把有專業數學文本起算到17世紀之前的數學都算做古代的話，那麽整個時段長達2000多年。如此長的時段裏各個地區的文明，都有多次反復地經歷了數學發展的繁榮和低潮周期。不同地區的周期時段不盡相同，興起和消亡的原因也各不相同，各個文明要面對的挑戰也天差地別。把這些不同分期的數學歷史，籠統起來討論，是沒有什麽意義的。
中國數學其實起步就相當晚近。劉徽註<九章算術>的時候，其實古希臘數學已經落幕了。在劉徽之前的中國數學，在21世紀之前幾乎就是空白。對你沒有看錯就是在2000年之前，我們根本不清楚魏晉之前的數學具體是什麽樣的。甚至90年代還有很多學說認為，<九章算術>的成書時間是在南宋，因為我們目前能夠看到版本只有南宋刻本。2000年以後隨著國家在文史上的投入，不少先秦的數學<簡牘>被釋讀出來,比如張家山漢簡的<算術書>,北大秦簡的<算書>等等，我們現在可以大體的了解到先秦到漢代的中國數學概貌。
基於這些新的出土文物和史料文獻，我們現在大致可以對早期中國數學的形態作出一些比較公平的評價。我個人喜歡把這段時期的數學，稱為簡牘時代。這個時代中國數學的最大的特征就是以簡牘作為文字媒介發展和傳播。這樣一個特殊的文字媒介幾乎定型了中國古代數學的基本形態。比如說為什麽？中國古代的平面幾何沒有往歐幾裏得的證明體系走，而是走了一條演算法化的道路？為什麽中國古代數學非常簡略只有結果沒有證明？因為和古希臘人的莎草紙媒介不同，簡牘即無法作圖也無法做長篇的精細論述。由於簡牘無法進行作圖，於是中國古代數學家傾向於在數學文獻裏把幾何定理轉化為各種等價演算法然後刻意的把幾何推導過程抹掉。簡牘的記錄知識的成本極高，比如說<幾何原本>的中譯本是60多萬字，而<史記>才52萬字。因此中國古代數學家傾向於只記錄有價值的結果和簡單的演算法過程口訣，而幾乎不可能形成<幾何原本>那樣的繁瑣的演繹化數學。這個漫長的簡牘時代，經過劉徽，祖沖之這一代魏晉數學家的努力之後，中國數學初步形成了非常特殊的以演算法為中心的數學體系，基本上奠定了中國古代數學的基本形態。對於這個時期的數學更詳細的可以參看這兩篇東西
簡牘對於中國數學的影響是巨大的，如果我們我們不考慮這些基本的歷史條件，來討論中國古代的數學成就，那麽就不可能得出任何有價值的評價。高贊裏有幾位，比如 @Yuhang Liu 的那個回答，把阿波羅尼烏斯的<圓錐曲線>拿來和<九章算術>的幾何比，事實上的確希臘人領先的多，但是這種事實我稱為選擇性裁剪的廢話事實。就好比說，有人發貼說王思聰25歲就實作了5億小目標，你們油膩中年白領30歲了還在996。你不能說這句話不是事實，但是這種事實只是被裁剪後的事實，拋開歷史談成就，都是耍流氓。
關於書寫材料的問題，下面引發了累牘連篇漫無邊際的的大討論。在這裏我統一再仔細回復一下，關於幾個書寫媒介的猜測和討論，我覺得都起碼要找正規的文獻來讀一下，不要拍腦袋想當然。首先是，羊皮牛皮和莎草紙。西方首用羊皮紙的是土耳其的帕加馬大概是前2世紀，大規模替代莎草紙是在公元四世紀西羅馬帝國崩潰西方喪失對埃及控制權之後。但是希臘的數學發展的地理中心基本上集中在埃及的亞歷山大城，時間大約是公元前323年到公元前146年，也就是埃及的希臘化時期。歐幾裏得，阿基米德，阿波羅尼奧斯，埃拉托塞尼，絕大多數古希臘數學家都是在埃及的亞歷山大港完成學術工作的。這其中最重要的原因，就是因為亞歷山大圖書館集中了當時西方最重要最完整的學術資料，而這種學術資料的收集整理保存全部依賴於莎草紙。亞歷山大靠近莎草紙的產地，同時也具備長期保存的氣候條件
其次，帛書和簡牘問題。討論這個問題，需要搞明白，在先秦帛書和簡牘之間是什麽樣的關系。前面有人提到，帛書的書寫格式是畫豎線格子仿造竹簡。這個說法其實不太確切。這種豎線格子叫做朱欄或者墨欄，根據考古學者對馬王堆帛書的研究，帛書上的這些豎線其實不是用筆墨畫出來的，而是用不同顏色的絲編織進去的。這個結論說明了幾個問題。首先,布帛是不適用於作畫的。很簡單你自己就可以做實驗，用毛筆蘸墨水在絲綢上畫細線，墨汁會隨著纖維進行擴散而出現像四周暈染的情況。因此古人為了在帛書上的制作筆直的細線，必須要依靠編織的方法來完成。目前出土的各種先秦帛畫實際上也是一種絲織品。埃及人的莎草紙的制作工藝中有一道上膠的工藝，這個工藝可以把墨水和莎草紙的纖維隔離開來以防止墨水暈染的現象.
其次, 預編織朱欄或者墨欄的情況還說明了這種帛是專為書寫特制的而非隨意拿一塊布片就能進行書寫。為何要客製呢？因為帛書不是用於撰寫初稿著作，而是用於謄寫定稿著作。也就是說帛書是作為一種簡牘的精致抄本而存在的。一本帛書內容一定源自於一本更原始的竹簡。簡牘是便宜的，可以隨意的書寫廢棄，但是笨重不方便。於是對於達官貴人，就有專門花錢請人編織書寫用帛，然後請書法家在從簡牘上謄寫書籍，形成帛書抄本。帛書的價格實際上已經遠遠超越絲綢本身的價格，因為這種帛本身就是客製而非尋常的絲綢。這種帛書在當時更多的是作為一種藏品而存在，類似於我們現在圖書的精裝本和平裝本的區別。因此我們不能把帛書作為和簡牘平行的媒介，簡牘是帛書的基礎，先秦時代的知識首先承載於簡牘，這是無需爭論的。
再往後，隋唐兩代，雖然在政治經濟上達到了中國古代社會的頂峰。但是在數學上基本上屬於停滯不前的狀態，整體而言是一個非常奇怪的低潮期。這其中的有很大一部份原因是魏晉南北朝之後，中國的土地制度和稅收制度被徹底顛覆了，先秦兩漢時代的驅動數學發展的核心力量發生了根本的改變。
再經過五代十國短暫的混亂以後，宋金元代的數學發展達到了中國數學的巔峰。而同時期的西歐由於整個社會崩潰，數學研究基本上處於倒退的狀態。這段時期中國數學無可置疑是領先的。
到了明朝中國的數學卻突然出現直線下降。明朝的倒退和隋唐完全不同，幾乎是一種雪崩式的垮塌，唐代的李淳風可以為劉徽的<九章算術註>做整理和評註，而到了明朝中葉，短短100年的時間，明朝數學家幾乎已經看不懂朱世傑秦九韶的宋人數學著作。
這種垮塌式的崩潰源自於明代政府的戶籍制度。宋代時中國其實已經發展出了初步的數學共同體。與我們通常認識的想反，宋元時代，中國的傳統知識分子其實並不排斥數學。數學其實是儒家經典的一部份，宋元兩代的儒家知識分子其實不少都是兼職的算學高手，猶如穿越者沈括之類的就不說了，比如說砸缸救人的哪位司馬光，他雖然作為文學家和歷史學家出名，但是我們看他的告身結銜，我們會發現他有一個非常奇怪的差遣
翰林學士・兼侍讀學士・朝散大夫・右諫議大夫・知制誥・充史館修撰・編修歷代君臣事跡、詳定封事・判尚書都省・兼提舉萬壽觀公事・ 兼提舉司天監公事 ・同詳轉對臣僚所上封章・柱國・河內郡開國侯・食邑一千三百戶・食實封二百戶・賜紫金魚袋・ 司馬光提舉司天監公事，按照現代話來說就是以部級官員兼職國家天文台的台長。提舉司天監這樣的差遣不是皇帝一紙任命就可以擔任的，因為中國古人認為皇權與天象密切相關，對日月交食時刻按規定皇帝都要率領眾臣舉行祭天儀式。這個差遣本身需要對數學和天文有非常專業的知識，一旦對天象觀測出錯，該舉行的儀式沒有舉行，那就是震動朝野的大事。司馬光不僅僅是一個歷史學家，他之所以能提舉司天監，是因為他本身對數學和天文學都有較深的研究，他甚至自己推算了一部歷法。在這種社會氛圍下，宋元時期中國第一次形成了數學家共同體。比如楊輝，秦九韶，朱世傑都公開的開館授徒，人數眾多而活躍的數學共同體是宋金元數學突飛猛進的社會基礎。
到了明代，朱元璋制定的戶籍制度，將社會不同階層進行世襲固化，比如數學家天文學家歸入陰陽籍，一旦入籍子子孫孫都不能脫籍。這樣整個數學共同體就蕩然無存，數學家群體變成了近親繁殖的家族式行業，學者之間交流也不復存在。而此時西歐的的文藝復興開始，歐洲的數學家在整理古希臘人的基礎上對數學進行了突破性的發展。當利瑪竇將歐洲的數學和科技帶入中國的時候，中國的數學屆才想起揀回宋元時期的數學工具與之抗衡，然而此時他們卻發現他們連宋元時代的數學文獻都看不懂了。清代的楊光先湯若望教案中，楊光先預測天象數次失準，上疏康熙帝要求尋訪通曉古代侯氣法之人，結果找了兩年都沒能找到。通常我們認為中國傳統文化輕視數學和自然科學的風氣，正是濫觴於明代。這一次的衰弱之後中國的數學就再也沒有起來。
假如明代的中國數學沒有中斷的如此徹底，中國數學有沒有可能找到現代化的途徑？這個問題看似非常穿越，但實際上並非是一個不值得討論的意淫問題。因為在歷史上有兩個非常接近這個答案的案例可以參考。
一位是日本的和算算聖，關孝和。這個名字我估計很多中國人是非常陌生的。當宋元數學在明代絕跡的時候，在相當於中國的明末清初的江戶時代，關孝和在日本繼續發展朱世傑等人發展起來的天元術，將這門技術發展成為了一種利用漢字偏旁組成的半符號代數—— 傍書法和演段術 。關孝和把未知數用甲乙來表示，把系數和加減乘除運算標在未知數的旁邊。這樣可以簡潔地表示方程式或方程式組。
在此基礎上，他利用宋元數學發展起來的垛積術，求出了乘方垛，也就是自然數的p次方的一般求和公式，
\sum_{k=1}^{n}{k^p}=1^p+2^p+3^p+....+n^p
並且得到了白努利數。他發展了郭守敬的招差術和插值法，給出了圓弧長的無窮級數展開式，並利用這種方法對橢圓螺旋線做了深入研究。關孝和以及他的弟子在此基礎上甚至發展出了一套多重積分求立體體積的方法。另一位則是中國清末的李善蘭，他和關孝和一樣利用朱世傑的垛積術發展出了尖錐術並且以此技術給出了一系列三角函數對數函數無窮級數展開式，當時他的合作者偉烈亞說，他的這些成就如果誕生在17世紀一定會震驚世界。所以說，@Yuhang Liu認為古代中國或者東亞數學家沒有研究過圓錐曲線曲線也不是事實，關孝和李善蘭都用原始無窮級數研究過這些曲線。關於李善蘭的工作可以參看這裏
如果我們以李善蘭，關孝和的工作來作為樣本而不是明清兩代中國主流落後的數學為參考的話，那麽前面幾個高贊答案裏所說的中國古代數學發展不出抽象的符號系統，發展不出微積分是非常武斷沒有道理的。
透過對中國古代歷史的簡單梳理，我們可以看到影響到數學發展行程的其實很多是與數學和數學家無關的因素。數學發展的道路可以有很多條，數學問題本身也可以有很多樣式可以選擇。我們現在選擇萊布尼茲的微分積分記號，而不是牛頓的流術記號其實並沒有什麽歷史必然因素。如果關孝和的圓理或者李善蘭的尖錐術能被更廣泛的套用和拓展，那麽微積分可能就不是目前這個樣子。
明代之後的中國數學乃至東亞數學的衰弱，與其說是抽象性體系性上的不足，更不如說是數學套用上的嚴重缺失。
從牛頓萊布尼茲微到柯西、魏爾施特拉斯，現代微積分的發展並不是由數學家個人突進完成的，而是數學向物理化學天文等學科提供初級的工具，這些學科利用數學工具獲得突破後再向數學反哺各種研究素材，然後數學家進行再整理重構新工具再反饋科學界這樣一輪一輪不斷進行叠代完善的正反饋中完成的。如果說李善蘭的成果來的太晚的話，那麽關孝和的成就則和牛頓是同時代的世界領先的成就。然而在隨後的數百年中整個東亞文明的其他部份都沒有跟上中日數學家的步伐無法為數學共同體提供發展的養分和研究素材，中日數學家的這些現代化的努力最後只是成就了一場東亞數學的謝幕演出。
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下面的評論裏聚焦最多的一個話題，恐怕還是，中國數學到底是落後還是超前？上面的長篇回答，大體只回答了兩個問題。為什麽中國先秦至漢的數學沒有走向公理演繹化的道路？明代的數學是如何衰弱的。如果不衰弱又會怎麽樣？這只是回答了我們為什麽沒有這些東西？但是沒有回答，我們有什麽東西？
關於這個問題，其實我在<數的分流>的第五至第八篇中詳細闡述了這個問題。我以為知乎的讀者都有基本的自學能力，但實際上這幾篇沒推的部份幾乎沒有人看。
為了減少一些無謂的口水仗，那麽我還是在這裏對這四篇做一個基本綜述好了。
幾個高贊的回答中，都提到了一些數學成就，比如劉徽的割圓術和他的基本極限思想，劉綽的等間距二次插值，等等。在我看來這些數學成就不能算不重要，但是他們只是中算數學體系的一種自然而然的實際運用而已，在這些數學成果之下實際上還有一套完整的演算法數學體系——函數、變量、對映
在先秦到漢代直接影響到中國數學的基本形態的因素除了簡牘之外，還有一個重要的歷史行程也決定了中國早期數學的發展方向，那就是是秦始皇統一度量衡，以及漢代以後數百年內對這一行程的延續和強化。
統一度量衡，意味著中國的基層官吏需要處理各種不同單位的數據向標準單位進行對映的工作。比如<九章算術.粟米>章中各種谷物的比率變換。中算家利用，算籌的占位特性，將每一個算籌的方格演化成了類似現代電腦中的寄存器概念。不同方格之間按照一定的率進行連結，即劉徽所謂的粗則俱粗細則俱細。這就形成了最基本一次比例函數的雛形。當問題再進一步復混成後，就出現了數個函數進行復合以後形成更復雜的函數。如果說，希臘人對數系的拓展是源自於幾何的度量，那麽中算家對數系的擴充其實都是建立在這樣一種數據對映關系上。當除之不盡的時候，他們用一對對映關系定義分數，當減之不足的時候，他們用幾個函數反函數復合來定義負數，當他們開之不盡的時候，用一系列縮放比例函數來進行無窮逼進。劉綽，秦九韶，他們的成就其實就是建立在這種函數、對映的框架下建立的。
統一度量衡是中國特有的社會行程，這就是為什麽不光是古希臘人還有同樣精於計算的巴比倫人埃及人都沒有發展出這套技術。這就是我為什麽說，負數的缺失不僅僅是一個簡單的數系定義問題，而是一大塊數學結構的缺失，因為缺乏函數和對映，你就很難跨越從零中再減去數據的邏輯矛盾。
這就是為什麽我一直強調，世界上早期數學，其實是各自發展不同的數學分支而已。希臘人借助莎草紙發展了幾何和公理化體系，而中國人則借助簡牘和統一度量衡發展了函數對映變量。這個技術借道印度和阿拉伯，由13世紀的斐波那契在<計算之書>引入歐洲，再經過笛卡爾將函數和西方的特有幾何數學結合形成了解析幾何成為了微積分發展的重要基石。
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關於中國古代數學的中的幾何與希臘幾何的比較，我再多說幾句。
中算的幾何，也就是吳文俊鼓吹的出入相補這一系列成果，和希臘人的幾何其實完全不是一個方向上的東西。希臘人的幾何研究的是幾何實體之間的位置關系，什麽是平行，什麽是垂直，什麽是相交，什麽是相切。而對於中算的幾何，就我個人的看法，勾股形，更像是一種高次多項式運算的算具。在天元術這種代數符號系統沒有發展出來之前，算籌這個東西只能處理齊次方程式。你的方程式裏面要麽全是一次未知數，要麽全是二次未知數。如果是非齊次的多項式方程式，算籌是沒有能力完成運算的。因為算籌只能表達數碼運算而沒有符號計算。如果你的多項式恰好是齊次的，那麽就退化成了一個線性代數問題，線性代數問題只需要對系數進行運算就夠了，對於未知數本身在計算時是可以完全忽略的。但是如果你是非齊次的，一個多項式裏，既有一次未知數，又有二次未知數，這個時候你就需要處理未知數本身了。在沒有符號計算的時代裏，恰好勾股型和矩形能夠滿足在一個實體上即有一次量，又有二次量。一個矩形的面積是一個二次量，而他的長寬就是一次量。出入相補其實就是透過幾何體的拼接轉換，來完成一系列符號代數公式的變換。比如說九章算術裏，有所謂的已知弦股差以及勾長，求股弦和，這個其實就是a^2-b^2=(a-b)(a+b)平變異數公式而已.沒有符號代數的情況下，這種因式分解的工作就是透過觀察幾何圖形拼接來得到的。
再比如趙爽的二次方程式求根公式，就是把方程式兩根當作矩形的長寬，兩根積當作矩形面積，然後把這樣的四個矩形圍成一圈，形成大矩形，大矩形的邊長正好是長寬的和也就是兩根和，這就得到了二次方程式的偉達定理。然後他可以透過這個大矩形和小矩形進行若幹次割補操作，來求得最終的方程式根。而這種割補操作，實際上就是等價於將偉達定理透過符號代換成求根公式的符號運算過程。
再比如秦九韶的三斜求積術和海倫公式的差異。海倫公式原始的證明用到了一個非常復雜的相似形比例對映關系。而秦九韶的三斜求積術，按照吳文俊出入相補復原，其實就是把高設為未知數，然後求解二次方程式，為什麽他三斜求積術要比海倫公式復雜的多呢？因為實際上他就是一個二次方程式求根公式而已。
很多人說中算幾何沒有證明，就算是吳文俊復原的那些都是很粗陋的。因為從幾何原本的角度來看，很多割補要用到的等積，中算方法都是沒有辦法保證的。比如劉徽的說勾股定理證明裏的青出青入，你怎麽保證出入相等啊，這些都沒有證明的，所以看起來非常的粗陋。但是實際上，中算家在做這個東西的時候，就不是在做一個幾何問題，而是在借助幾何圖形完成代數運算而已。我們如何作出四個相等的三角形，或者長方形？這個根本不重要，因為中算家的前提條件就是，我有四個相等的長方形那麽我可以怎麽樣。如果把這個過程轉譯成代數語言就是，如果我們有4個a*b，那麽我們接下來可以怎麽怎麽樣，我們顯然不會去證明這四個a*b為什麽會相等，我們就是假設相同的符號代表的數據是相等。後來阿拉伯的花剌子米的符號代數也是借助這種幾何方法建立起來的。這種幾何代數技巧在中算家哪裏就稱為「如像招數」，它幫助早期的數學家認識到，一系列基本的符號運算的結果比如平變異數，和平方等等，甚至朱世傑依次發展出了高介等差數列的朵積術和招差術。幾何在這裏其實起到了一個腳手架的作用。有了這些符號運算的基本積累之後，才有可能擺脫幾何的輔助獨立發展出符號代數。
