袁講經典18：以一道變速圓周運動題目為例講兩個知識點
真的好久沒有更新了，最近在探索做影片直播，失敗了！
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例1： 如下圖所示，在豎直平面內，輕繩a和輕繩b懸掛一質素為 m 的小球處於靜止狀態，其中輕繩a為水平，輕繩b與豎直方向角度為 \theta ，現在剪斷輕繩a的瞬間，求輕繩b的拉力大小和小球的加速度大小。
解： 這道題是一道變速圓周運動問題，那麽變速圓周運動又有哪些公式可以用呢？
我們看一下勻速圓周運動的公式，如下，
F_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r=m(\frac{2π}{T})^2r ，
那麽這個公式在變速圓周運動中是否還可以使用呢？
首先， F_n=m(\frac{2π}{T})^2r 肯定不能用了，因為周期是個平均概念，變速圓周運動中速度、角速度時刻在變化，所以該公式無法使用，
而 F_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r 公式依然可以使用， 但是使用時要註意：
1.要采用瞬時速度大小和瞬時角速度大小，瞬時速度和瞬時角速度之間的關系依然滿足 v=\omega r ，但我們高中一般很少用到瞬時角速度，所以一般采用 F_n=m\frac{v^2}{r} 公式。
2.註意該公式中的 F_n 並不是合力，只是指向圓心方向（法向）的力，至於切向方向的力也依然滿足牛頓第二定律，
如上滿足，
F_n=ma_n=m\frac{v^2}{r} ， F_τ=ma_τ ，
其中 a_n 和 a_τ 分別稱為法向加速度和切向加速度，
那麽合加速度為， a=\sqrt{a_n^2+a_τ^2} 。
好了，我們回到上面這道題目，剪斷輕繩a的瞬間受力分析如下，
因為接下來小球是做變速圓周運動，所以我們要在法向和切向進行力的分解，
法向， T_b-mg\cos\theta=ma_n=m\frac{v^2}{r} ，其中剪斷瞬間 v=0 ，
切向， mg\sin\theta=ma_τ ，
解得， T_b=mg\cos\theta ， a_n=0 ， a_\tau=g\sin\theta ，
所以， a=\sqrt{a_n^2+a_τ^2}=a_\tau=g\sin\theta ，
即，輕繩b的拉力大小為 T_b=mg\cos\theta ，小球的加速度大小為 a=g\sin\theta 。
好了，做完了，這就是關於變速圓周運動題目的做法。
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例2： 上題中，現在剪斷輕繩b的瞬間，求輕繩a的拉力大小和小球的加速度大小。
好了，小夥伴們抓緊留言吧。
我們接著往下說，在上題中，在還沒有剪斷輕繩前，我們計算兩根輕繩的拉力大小，特別簡單吧，得到， T_{a0}=mg\tan\theta ， T_{b0}=\frac{mg}{\cos\theta} ，
然後我們對比 T_{b0} 和 T_b 發現，繩子的拉力存在突變。
但是我們在做上面這道題目的時候， 根本不關心剪斷前繩子的拉力大小！
這就是關於繩子瞬態問題的解法，叫做，
繩子看後！
但如果是彈簧，就不一樣了。叫做，
彈簧看前！
為什麽呢？
繩子和彈簧的拉力都是因為發生彈性形變產生的，但繩子的彈性形變肉眼不可見，易突變，彈簧的彈性形變肉眼可見，很大，恢復需要時間！
好了，然後，我們將上題改編為，
例3： 如下圖所示，在豎直平面內，輕彈簧a和輕彈簧b懸掛一質素為 m 的小球處於靜止狀態，其中輕彈簧a為水平，輕彈簧b於豎直方向角度為 \theta ，現在剪斷輕彈簧a的瞬間，求輕彈簧b的拉力大小和小球的加速度大小。
解： 首先說一說輕彈簧a的情況，因為剪斷了，所以不用考慮了，
當然很多小夥伴對這個都有疑問，認為剪斷的瞬間不是還保持拉長的形變麽，怎麽就不考慮了呢，
因為我也沒有說明在哪裏剪斷，你可以認為在靠近小球的附近剪斷不就可以了嗎！當然這樣想比較牽強，而本質是因為輕彈簧的「輕」，「輕」就是不考慮質素，就是沒有質素，沒有質素的物體在高中物理中必須受力平衡，否則根據牛頓第二定律將產生無窮大的加速度，也就是說輕彈簧不存在一端受力的情況，即輕彈簧不存在如下受力情況，
這就是模型限制，沒必要深究，如果非要說現實中是可以這樣一端受力的呀，那現實中彈簧有質素的呀，如果告訴你彈簧質素，或特許以算一算。
好了，現在我們就當做剪斷的彈簧就沒啥用了。
那麽這道題目怎麽做呢？
記住彈簧看前！
所以，我們計算沒有剪斷前兩彈簧的彈力大小分別為，
T_{a0}=mg\tan\theta ， T_{b0}=\frac{mg}{\cos\theta} ，
剪斷瞬間， T_{a}=0 ， T_{b}=T_{b0}=\frac{mg}{\cos\theta} ，
所以此時，彈簧b的拉力大小不變，重力不變，所以，
\vec {mg}+\vec {T_{b}}=-\vec{T_{a0}} （向量計算）
也就得到此時小球的加速度大小為， a=\frac{T_{a0}}{m}=g\tan\theta ，
好了，這樣就做完了，我們根本不關心剪斷後小球做什麽運動，事實上我們也很難分析剪斷後小球復雜的曲線運動是什麽樣的。
好了，今天這道題目，我們至少學到了兩點：
1.變速圓周運動向心力公式怎麽用！
2.瞬態問題，繩子看後，彈簧看前！
小夥伴們，咱們下期再見啦！
