【1】背景介紹
算是二戰考生，一戰數三144，但是政治撲街。
一戰失敗後應聘了某機構數學助教，打算邊工作邊考，但是自律性太差，準備不充分，只參加了當年數學科目的考試，取得150。
不甘心又參加了20考研，於國慶後辭職全職備考，但這次專業課撲街。
下圖為20考研成績，這次真切體會到了：選擇大於努力。
【2】對數學學習的思考
思考一：在感性和理性中尋找一個平衡點
我們攝取外界資訊的方式有感性和理性之分。感性為我們所喜愛，因為感性比較直觀，易於理解，並且不論對錯，強調以自己的感覺為主；
與之相對應的理性，就不那麽招人待見了，因為理性比較抽象，難以理解，並且對錯分明，時常超越感覺，難以捉摸。
而數學這門學科，又偏偏是一門理性度非常高的學科。
因為它是從我們能夠感覺到的表象中，去除次要的、非理性的要素之後，留下的較為本質的東西。
也正是如此，數學才被稱為萬科之母。
但這並不意味著感性在數學學習中毫無用處，恰恰相反，數學的學習需要我們在感性和理性中尋找一個平衡點。
這麽多年的數學學習，我也一直這麽做的，事實也證明了這種做法的正確性。
在眾多的數學思想中，數形結合思想，就很好地平衡了感性和理性。
正如著名數學家華羅庚先生所說：「數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休」。
比如說，在高等數學中，形是 \Delta x 與 \Delta y ，即自變量與因變量的變化值，它們是貫穿高等數學的直觀基礎。
（1）若將 \Delta y 與 \Delta x 作商，即 \frac{\Delta y}{\Delta x} ，然後取極限則得一階導 f^{'}\left( x \right) ，也即是曲線 y=f(x) 切線的斜率，推而廣之，則得高階導 f^{''}\left( x \right) 、 f^{'''}\left( x \right) 、 \cdot\cdot\cdot 、 f^{\left( n \right)}\left( x \right) 、 \cdot\cdot\cdot 。
（2）若用 \Delta x 表示 \Delta y ，即 \Delta y=f^{'}\left( x_{0} \right)\Delta x+o\left( \Delta x \right) ，則得微分 dy=f^{'}\left( x \right)dx ，推而廣之，即用高階導與 \Delta x 表示 \Delta y ，則得泰勒展開和無窮級數，即 \Delta y=\sum_{1}^{\infty}{\left[ \frac{f^{\left( n \right)}(x_{0})}{n!} \left( \Delta x \right)^{n}\right ]} 。
（3）若對（1）進行反向操作，即由 f^{\left( n+1 \right)}\left( x \right) 得 f^{\left( n \right)}\left( x \right) ，則就是不定積分，進而可以延伸出定積分與變限積分，其中定積分 \int_{a}^{b}f\left( x \right)dx 是 f\left( x \right) 在區間 \left[ a,b \right] 上與 x 軸圍成的代數面積。
（4）帶著感性基礎 \Delta x 與 \Delta y 去學習高等數學，勢必會有越學越爽的感覺。
思考二：數學學習的三重境界
境界一：一題一解顧名思義，一道題目，一種解法。
在學習的初始階段，最重要的事情就是運用所學知識去解決具體的題目。
因為，這一方面會加深我們對知識的理解；
另一方面也會讓我們在學習中獲得及時的正向反饋，從而調動我們的學習熱情。
境界二：一題多解
一題多解主要體現了數學學習的靈活性和整體性，這是數學這門學科的內在規定性使然的。
如果你是一個狂熱的數學愛好者，那麽一題多解將會充分調動你的智力儲備，助你打通知識之間的聯系，讓你充分體會到數學的邏輯自洽之美。
然而，一題多解對應試來說，作用不大。
因為在考場上，時間是不允許你在不同的解法之間反復橫跳的。
在現實中，一題多解大多淪為裝X工具，所以，我們不必過於執著。
境界三：多題一解
多題一解當中的一解並非指固定的一種解法，而是指一種統一的分析框架，也即是通法框架。
通法框架主要有兩個作用：一是，它會讓分析變得有跡可循；二是，它會讓分析直達問題本質。
要想構建一類題目的通法框架，首先需要對題目進行本質篩選；
然後再將這些代表本質的的題目進行邏輯排列，以構成符合我們思維習慣的統一分析框架。
形象點來說，通法框架就是地基，紛繁多樣的題目就是地基上的大廈。
本質上來說，通法框架就是將工具箱中的解題工具進行有邏輯的排列，以最大化解題效率。
然後，在它的指引下，面對題目的時候，我們就能夠從工具箱中以合理的順序呼叫工具，在效率、準確率和思維的流暢性之間，達到一個相對完美的平衡，讓解題成為一種享受。
思考三：實踐是檢驗真理的唯一標準
應試的目的就是獲取高分，這點毋庸置疑。所以，我們的一切行為，都將以真題高分為準繩。
而實踐是檢驗真理的唯一標準，所以，通法框架的好與壞，都將在真題的實踐中得到檢驗。
以通法框架為解題基礎，在1987～2020的數三真題中，進行了實踐檢驗，都取得了不錯的效果，很多年份都可以100%保證考到140+。
這一結果，也充分證明了考研數學的去技巧化。
所以，在應試這一塊，我個人偏向於通法，而不是那些所謂的奇技淫巧。
技巧與適用面，通常是反向關系。
因為一個題目，技巧度越高，通常也就意味著它的約束較多，所以適用面就相對地變窄。
我一直在追求一個完美的通法框架，但事實證明，這是一個只能無限接近，卻永遠也無法達到的目標。
不過，也正是如此，才能讓我們時刻保持著對數學的敬畏之心，這也正是數學的無窮魅力所在。
所以，接下來我將向大家介紹：在考研數學的學習中，這些想法是如何被付諸實施的。
【3】一個例子：證明遞推數列 x_{n+1}=f(x_{n}) 極限的通法框架
一個極限為 A 的數列在散點圖上可表示為①②③三種形態：
對①②③三種形態的數列來說，均可使用 夾逼定理 進行證明。但是對於①②兩種形態的數列來說，有更為簡便的證明方法，即 單調有界準則 。而對於③這一形態的數列來說，只能運用夾逼定理進行證明。
可喜的是，目前來看，真題考的都是形態①②所代表的數列，也即是可以運用單調有界準則進行證明的數列。
而形態③所代表的振蕩數列，只在平時的訓練題中出現。
所以，接下來，為了方便敘述和理解，我們將暫時忽略形態③，而將形態①②作為研究的重心，也即是將單調有界準則作為研究的重心。
不過，事後我們將會發現：適用於形態①②的通法框架，同樣適用於形態③所代表的振蕩數列。
這就是通法框架所帶給我們的一種洞見：一種直達問題本質的能力。
如何證明有界性？
結合散點圖可知：數列的極限 A 在數列的有界性中扮演著重要角色，所以我們需要先求出 A 。這一步其實很簡單，我們可以先假定數列的極限存在並設為A，然後利用遞迴關係式得方程式 A=f\left( A \right) ，而後解方程式即可。
求出 A 之後一切就都明了了：我們可以根據數列前幾項的具體數值與 A 的大小關系，再結合數列的散點圖，就可以知道此數列是①②中的哪種形態了。
然後所有的東西就已經陳列在我們面前：若是形態①，則數列單調遞減，下界為 A ；若是形態②，則數列單調遞增，上界為 A 。
當我們根據散點圖猜測出數列的界限後，還需要進行證明，方法就是歸納法。
總的來說有界性就是先猜後證。
如何證明單調性？
證明單調性的方法：鄰項相減、鄰項相除、函數法。鄰項相減： x_{n+1}-x_{n}=f\left( x_{n} \right)-x_{n} 與 0 比大小。
鄰項相除： \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{f\left( x_{n} \right)}{x_{n} } 與 1 比大小。
函數法：若 f^{'}\left( x_{n} \right)>0 ，則 \left\{ x_{n} \right\} 單調；若 f^{'}\left( x_{n} \right)<0 ，則 \left\{ x_{n} \right\} 振蕩。
一個關鍵問題：先證明有界性還是先證明單調性？
解決這個問題的關鍵是：數列的 有界性 和 單調性 有無關系？如果有關系，誰依附於誰？下面，我們就來分析這個問題。
證明單調性的方法：鄰項相減、鄰項相除、函數法。
鄰項相減： x_{n+1}-x_{n}=f\left( x_{n} \right)-x_{n} 與 0 比大小。
鄰項相除： \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{f\left( x_{n} \right)}{x_{n} } 與 1 比大小。
函數法： f^{'}\left( x_{n} \right) 與 0 比大小。
綜上，想證明單調性必須先知道 x_{n} 的範圍，也即是數列 \left\{ x_{n} \right\} 的有界性
所以，答案是顯然的： 先證明有界性，再證明單調性。
終章：證明遞推數列 x_{n+1}=f\left( x_{n} \right) 極限的通法框架
Step1：求極限值 A先假定極限存在並設為 A ，然後由 A=f\left( A \right) 解出 A 。
Step2：判斷 x_{n} 範圍，即有界性
核心思想是先猜後證，核心方法是歸納法。
若無法判斷有界性，則直接進行Step3。
Step3：利用 函數法 判斷數列的散點圖形態
若 f^{'}\left( x_{n} \right)>0 ，則 \left\{ x_{n} \right\} 單調；
若 f^{'}\left( x_{n} \right)<0 ，則 \left\{ x_{n} \right\} 振蕩。
關於通法框架的說明：
上述通法框架三步法囊括了真題和平時的訓練題，也就是說，若嚴格按照三步法走下來，將會涵蓋考研範圍內的遞推數列極限問題。但是，如果我們事先知道，所證數列是單調的，那麽Step1與Step2就足夠了。
從目前來看，真題考的都是單調數列，所以對於真題而言，Step1與Step2就足夠了。
但是，為了保險起見，我們也需要掌握Step3，以防考研不按套路出牌。
還有一點需要說明的是，通法框架三步法是幫助我們分析的框架，只能出現在草紙上，不能寫在試卷上。
【4】一個例子：2018數三19題通法框架下的解答
題目：
設數列 \left\{ x_{n} \right\} 滿足： x_{1}>0 ， x_{n}e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1 \left( n=1,2,\cdot\cdot\cdot \right)證明： \left\{ x_{n} \right\} 收斂，並求 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}
通法框架下的分析：
Step1：求極限值 A由 x_{n}e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1 得 Ae^{A}=e^{A}-1 ，觀察得 A=0
Step2：判斷 x_{n} 範圍，即有界性
由 x_{1}>0=A ，結合散點圖易得 \left\{ x_{n} \right\}\downarrow ，下界為 A=0 ，即x_{n}>0 ，再由歸納法證明即可。
試卷上的規範過程如下：
（1）歸納法證有界x_{1}>0 ，設 x_{k}>0 ，則 x_{k+1}=ln\frac{e^{x_{k}}-1}{x_{k}}
令 f\left( x \right)=\frac{e^{x}-1}{x} ， x>0 ，則 f^{'}\left( x \right)>0
故 f\left( x \right)>\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f\left( x \right)}=1
進而得 x_{k+1}>0 ，即x_{n}>0 \left( n=1,2,\cdot\cdot\cdot \right) 得證
（2）作差法證單調
由（1）知 x_{n}>0 ，故 x_{n+1}-x_{n}=ln\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}-x_{n}=ln\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}e^{x_{n}}}
令 g\left( x \right)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}} ， x>0 ，則 g^{'}\left( x \right)<0
故 g\left( x \right)<\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{g(x)}=1
進而得 x_{n+1}-x_{n}<0 ，即 \left\{ x_{n} \right\}\downarrow
（3）求極限值
綜上，由單調有界準則可得 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} \exists
設 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=A ，則 Ae^{A}=e^{A}-1 ，觀察得 A=0
下面證明解的唯一性：令 h(x)=xe^{x}-e^{x}+1 ， x\geq0
則 h^{'}(x)\geq0 ，且等號僅在 x=0 處成立，即 h(x) 嚴格單增
又 h(0)=0 ，故 h(x)=0 有唯一解 x=0 ，也即是 A=0
【5】證明遞推數列極限問題的總結
通法框架的優勢：
我目前遇到過的所有證明遞推數列極限的問題，包括但不局限於考研真題，都可以運用上述通法框架三步法來證明。通法框架重在「通」字，「通」是抓住了此類題目的共性，所以才能解決這一類題目。
通法框架的形成：
適量的高品質題目練習是形成通法框架的必要條件，只有透過練習，才能抓住一類題目的共性而刨除個性。及時的歸納和 深入的思考 是形成通法框架的充分條件，只有透過深入的思考，才能直達問題的本質，最終形成一個統一的分析框架。
通法框架的演進：
通法框架的形成不是一蹴而就的，需要不斷地試錯和修改。也有很大可能每個人總結出來的框架是不一樣的，但這正是通法框架的神奇之處，只有融入了自己思考的通法框架用起來才順手。
通法框架與應試：
應試是在有限的時間內高質素完成答卷，而通法框架是將解題步驟程式化，從而可以有效節省考試的時間和避免因思維的散亂性而導致的錯誤，所以應試與通法框架並不矛盾，反而相得益彰。以證明遞推數列 x_{n+1}=f\left( x_{n} \right) 極限為例說明通法框架的形成過程：
在我所接觸到的數學思想中，數形結合是我最喜歡的，因其很好地滿足了感性和理性的結合：一方面，在座標圖中畫出數列的散點圖，結合散點圖我們獲取了更多的直觀資訊，也即是在散點圖上直觀地感受到數列的有界性、單調性，這是感性方面；另一方面，再將從圖形上獲得的直觀資訊回歸到數理表達，也即是用數學語言證明數列的有界性、單調性，這是理性方面。這一來一回為我們提供了更多有用的資訊，從而有利於我們總結出通法框架。 2020/05/16更新
【6】幾點說明
算是對這三年數學學習的一點總結，分享一下自己的學習經歷，讓自己的歲月留下痕跡。若有幸幫到大家，讓大家在學習數學的路上少走彎路，那也將是一件有意義的事情，並且值得一直做下去；
- 一般型：顧名思義，此類題目不需要技巧，只需要我們對基本知識有個清晰的認識和平時紮實的訓練，此類題目是考研的大頭，可以毫不誇張地說，只要把這些題目攻克，考研數學成績絕不會拉後腿。當然，想把這類題目熟練掌握也絕非易事，就我自己的經歷來看，做大量的練習以及及時的歸納總結是必不可少的，其中歸納總結又是最重要的一步，這一步要求我們會區分題目：到底是因為這個題目有獨特的技巧還是因為我基本功不紮實而做錯？如果是因為題目有獨特的技巧而做錯，我們可以將其暫置一邊；但若是因為自己基本功不紮實，那麽我們就要努力了，這正是我們復習必須要攻克的題目。對於我們是否真正掌握了一般型的題目，我個人有一個檢驗標準：此類題目是否在自己腦中形成了一個程式化的解題框架，當再次遇到此類題目時，我們可以不假思索地一步步解出正確答案；
- 技巧型：此類題目的特點是具有獨特的解題技巧，每個題目都不同，所以此類題目我們會做了也就是會背了，此類題目前期不應該花費我們過多精力，而且此類題目在考研中的地位也是微乎其微，大多年份考研真題就沒有技巧型題目，因而並不影響我們考上自己的目標院校；
在應試方面，我個人偏向於使用 做題思路框架 解題，此處的 做題思路框架 是指：當見到一類題目時，腦海中就已經知道此類題目的常用思路，其建立在大量的題目練習與總結之上，它能幫助我們快速解決那些在自己能力範圍內的題目以及果斷放棄超出自己能力範圍的題目，我自己的復習過程大致遵循以下幾個步驟，大家可以針對自己的情況選擇性吸收：
- 刷全書，我用的是【李正元復習全書】+【李永樂線代講義】，這一遍是精做，目的是掃清各種考點和題型，並對做錯的題目進行標記；
- 刷錯題，此步是為了將全書中所有內容掌握，為下一步打下基礎；
- 歸納題型和 做題思路框架 ，目的是對每章節題目有個宏觀上的把控；
- 選取高質素習題（我用的是660）檢驗和完善 做題思路框架 ；
- 真題試練，在此過程中盡量按照考研的要求來做，練習真題時就以上述幾個步驟所得的 做題思路框架 為依據，但此時並不把所有真題刷完，留下5套供考前幾天仿真訓練；
- 做高質素模擬卷（歷年合工大+李正元400），仍舊以上述所得的 做題思路框架 為依據；
- 回歸錯題，利用 做題思路框架 解決錯題，此時的 做題思路框架 應該已經比較完善了；
- 真題模擬訓練，仍舊以 做題思路框架 為依據，此時的框架應該能在所有的真題中保證取得140+了，但前提是不能出現計算錯誤；
結合我自身的學習經歷，私以為數學考試想取得高分必須具備兩個條件：足量的題目練習和題目的歸納總結，二者缺一不可；
- 足量的題目練習：這是數學學習的第一步，目的是理解各種考點和常考題型，這是數學的根基，如果不能清晰地了解各種知識點，那麽後期根本得不到質的昇華；
- 題目的歸納總結：將上一步訓練所得的根基進行分類歸納，將題目進行劃分，並且以「一般型」題目為主，然後在宏觀視角構建各種題目的解題框架，並且註意在以後的題目練習中使用這種框架，為的是在做題的過程中不斷完善框架，增強框架的涵蓋性；
由於數學本身具有很強的靈活性，盡管我一直在追求一個完美的「通法框架」，但事實證明並不存在這樣的框架，但這並不會阻礙我們取得高分，我們只要無限接近這個理想中的完美的「通法框架」就足夠了，我們的目的是高分而不是完美的「通法框架」。當我們做透了歷年真題之後，會發現我們所謂的不那麽完美的「通法框架」已經足夠幫助我們取得高分了，但是有一點大家也要明確，這些框架都是自己平時做題總結的產物，所以這些框架肯定會因人而異，甚至這也意味著這些框架可能存在一些漏洞，但正是這些漏洞給我提供了不斷完善這些框架的機會和動力，同時大家也不能過度依賴這些框架，因為框架的形成核心是思考，過度依賴框架反而會讓自己解題變得僵硬，只有靈活地將做題和框架進行結合，才能真正達到「量」向「質」的轉變，由於個人能力有限，文中如有不當之處，歡迎大家批評指正；
2020/05/24更新【7】關於線性代數的幾點個人思考
線性方程式組是線性代數的核心，整個線性代數的內容都是圍繞線性方程式組來展開的，理解了線性方程式組也就抓住了線代這門課的「根」，但是，想要理解線性方程式組，在我看來，至少需要以下2個維度：
- 第一層維度——方程式組視角 這層視角大家應該比較熟悉，教材從一開始就引入了線性方程式組概念，只不過線代教材將線性方程式組用其特有的符號即矩陣和向量進行了表達，但其本質還是線性方程式組，之所以這樣去理解矩陣和向量，是為了能夠讓我們在感性上比較容易接受，從而對矩陣的變換和秩會產生較深刻的感性層面的理解，比如說矩陣的行變換過程對應著解線性方程式組的過程，其本質就是去除無效方程式而只留下有效方程式的過程。再比如說，矩陣的秩就是有效方程式的個數，是矩陣變換之後留下的最根本的獨立的東西，將其與線性方程式組所包含的未知數的個數進行做差即可得到自由未知數個數，當然此處有個重要原則，不過大家應該比較容易理解：n個未知數必須有n個 獨立的方程式 才能解出來，而獨立的方程式個數就是有效方程式的個數，所以秩對於線性代數來說，是非常重要的一個概念。學過【國際金融】的同學應該知道，這個原則的一個具體運用就是丁伯根法則，雖然學科不同，但是蘊含的真理卻是一樣的，這就是真理的魅力！
- 第二層維度——向量視角 該層視角是從第一層視角推理出來的，雖然是推理出來的，但是卻有其獨特的規則，就好比衍生品是由基礎資產衍生而出，但是卻有其獨特的執行規則，有些時候甚至可以脫離基礎資產進行投機炒作，乃至催生巨大泡沫。既然是推理，那麽我們就先從最基本的開始，也就是從線性方程式組開始，然後再抽象出一般的通用的原理。我們先以下面的一個具體線性方程式組為例進行說明：
其對應的矩陣語言表達如下：
其對應的向量語言表達如下：
向量語言表達的第一層解讀：
向量語言表達的第二層解讀：
向量和矩陣語言的混合解讀：
Ax=b 可以看作向量 x 線上性變換 A 的作用下變成向量 b 的過程，但究其本質，仍舊是線性方程式組問題，此視角在理解二次型標準化的過程中非常有用；
- 何謂矩陣 矩陣的本質是一個數表，該數表對行數和列數沒有任何規定，其運算包括加法、減法、數乘和乘法，另外矩陣的行初等變換過程對應著去除無效方程式的過程，留下的有效方程式個數即是秩；
- 何謂行列式 行列式的本質是一個行數和列數相等的數表所對應的一個數，只不過這個數是按照一定的規則計算出來的，即是所有不同行不同列元素的乘積的代數和，之所以稱之為代數和，是因為要用逆序數對每項進行符號判定；
- 矩陣與行列式關系 矩陣是一個數表，其對行數和列數沒有要求，行數既可大於列數，亦可小於列數，亦可等於列數，但當行數等於列數時，此時的矩陣又稱方陣。但行列式是一個數，其要求行數必須等於列數，也就是說，只有方陣才存在相應的行列式，除去方陣的矩陣不存在對應的行列式！
二次型的線性代數表達：
二次型標準形的重要意義：
二次型的標準形（亦法式），只含有平方項，而只含有平方項的二次型通常具有現實的研究意義，所以二次型研究的目的就是要將其標準化；
二次型的標準化過程：
相似對角化的本質：
由於線性代數這門課的整體性特別強，所以我們不能單單就題論題，不能只見樹葉不見樹木，乃至森林。也正是由於線代的整體性特別強，出題老師才能靈活多變，一道題貫穿多個章節，通常讓我們感到沒有固定套路可尋，但這也恰恰是線代這門課程的致命弱點：線性代數的整體性來源於其是由線性方程式組衍化出來的，這也就決定了線性方程式組是其根，也是我們的突破點，由此也引出了線性代數這門課程的一種重要思考方式：線性方程式組思維，也就是將所求問題轉換為線性方程式組問題，然後利用整體框架將所求問題與各個章節聯系起來，這時候的思維就像噴泉一樣一湧而出，當然想達到這一步也並不簡單，需要一定的做題量為基礎再加上自己的思考總結；
【8】近期一些同學私我的一些問題說明
其實我上面啰啰嗦嗦說了一大堆，都只是一種思想的具體表現而已，這種思想就是解決問題的本源，「通法框架」聽起來那麽具有吸重力，但並不是每類題型都如我上面所列示的證明數列極限那樣具有固定的範式，在現實中更多的是這樣一種情況：遇到一個題目，大腦就開始在自己平時整理好的 框架庫 中搜尋，然後尋找合適的解題方法，至於怎麽建立起這個框架庫，我已經在上面和大家說了，大家如果把這些思想運用到各個章節的學習中，我想大家會取得不錯的效果；
關於英語和政治的復習經驗，大家可以翻一下這個貼文下面的討論，其實這兩科考出這樣的成績是有運氣成分的，大家選擇性吸收有利於自己的就可以了；
我寫這個貼文的本意是分享和記錄一下自己對考研數學的理解，實在沒想到能夠得到這麽多人的認可，實屬惶恐！而且近期有些同學私下找我想跟著我一起學習考研數學，這更是對我的認可，在這裏謝謝大家！但是由於我現在工作比較忙，精力有限，所以能輔導的同學數量有限，而且只輔導數三，評論區裏關於此的問題我就不一一回復了，還有什麽疑問可以私我，再次感謝大家的信任！
2020/06/15更新下期更新內容說明：
下期打算更新的內容是中值定理模組，該模組非常靈活，為了盡可能全面地給大家呈現中值定理類問題的全貌，需要花費一些時間，希望大家耐心等待！再次感謝大家的認可！也歡迎大家與我交流，一起進步！
2020/08/01更新經過將近兩個月的時間，中值定理相關材料已經陸陸續續收集好了，我今天和明天會把材料進行系統歸納總結，然後呈現給大家！
不過在此之前需要再次說明一下：中值定理模組是非常靈活的，我盡可能做到完善，但絕對達不到非常完善！但是，以我個人經驗來看，這種程度對付考研數學，足矣！還有就是如果大家在閱讀的過程中發現什麽疑問或者有更好的思路，也歡迎與我交流！
2020/08/15更新【9】中值類問題「思考框架」
為了敘述和解題方便，我將中值類問題分為「狹義」和「廣義」兩大類，這種分類方法不具有任何權威性，只是為了敘述方便，在此聲明一下
- 「狹義」中值：即我們平時所說的微分中值，包括費馬定理 \xi\in(a,b) 、羅爾定理 \xi\in(a,b) 、拉格朗日中值定理 \xi\in(a,b) 、柯西中值定理 \xi\in(a,b) 和帶拉格朗日余項的泰勒公式 \xi\in(a,b) ，這些定理有個共同點：它們研究的都是 \xi\in(a,b) 這個開區間內的中值
- 「廣義」中值：廣義中值的研究物件包括閉區間內中值 \xi\in[a,b] 和開區間內中值 \xi\in(a,b) 這兩類問題，包括介值定理 \xi\in[a,b] 或 \xi\in(a,b) 、零點定理 \xi\in(a,b) 、費馬定理 \xi\in(a,b) 、羅爾定理 \xi\in(a,b) 、拉格朗日定理 \xi\in(a,b) 、柯西定理 \xi\in(a,b) 和帶拉格朗日余項的泰勒公式 \xi\in(a,b)
- 二者關系：廣義中值=狹義中值+零點定理+介值定理
- 以下我們所討論的中值類問題「思考框架」均是針對「廣義」中值而言，這一點需要大家註意
顧名思義，中值即中間值，但這個中間值又分為兩大類：閉區間內中值 \xi\in[a,b] 和開區間內中值 \xi\in(a,b) ，這一區分看似微小，但卻代表著不同類別的題目和解題方法，我們後面會一一敘述
何謂維度視角？
維度視角之升維解讀：
升緯的過程就是從函數 f(x) 所具有的某種特性匯出其導函數 f'(x) 所具有的某種特性的過程，大家可以認真思考一下：其實狹義中值定理幹的就是升維這件事！維度視角之降維解讀：
降維則剛好與上述升維相反，是從導函數 f'(x) 所具有的某種特性匯出函數 f(x) 所具有的某種特性的過程，降維通常有以下兩種方法：法一（微分方程式法）：從證明物件入手，把證明物件看作微分方程式，然後解此微分方程式，解出微分方程式之後，只需要把自由常數單獨移至等號一側，則等號另一側即為所建構函式 F(x) ，然後再對所建構函式 F(x) 利用中值定理即可，所以降維的過程本質就是解微分方程式的過程！
法二（拼湊法）：此法需要平時足量的題目訓練和個人歸納總結，因沒有統一範式，此處不再敘述
以20年數二一道真題來論證維度思維的重要性：
介值定理
區間： \xi\in[a,b] 或 \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow 0 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束： f(a)=f(b) 或 f(a)\ne f(b)
證明物件：等式
零點定理
區間： \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow 0 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束： f(a) 與 f(b) 異號
證明物件：等式
費馬定理
區間： \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow -1 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束：
證明物件：等式
羅爾定理
區間： \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow -1 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束： f(a)=f(b)
證明物件：等式
拉格朗日中值定理
區間： \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow -1 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束： f(a) 與 f(b) 無約束
證明物件：等式或不等式
柯西中值定理
區間： \xi\in(a,b)維度：證明物件 \rightarrow -1 維 \rightarrow 證明物件
端點處函數值約束： f(a) 與 f(b) 、 g(a) 與 g(b) 均無約束，但對處於分母位置的 g(x) 需滿足 \forall x\in(a,b) ， g'(x)\ne0
證明物件：等式
帶拉格朗日余項的泰勒公式
區間： \xi\in(a,b)維度：
端點處函數值約束： f(a) 與 f(b) 無約束
證明物件：等式或不等式
要素一：區間劃分
區間劃分的重要性：從上述「廣義中值定理解讀」過程不難發現，中值定理與區間密不可分，所以區間的劃分對解決中值類題目至關重要，在哪個區間上使用中值定理是我們必須要考慮的問題劃分區間的標準：根據題目條件，找出一些 含有豐富資訊 的「關鍵點」，然後「關鍵點」之間進行兩兩組合，每兩個「關鍵點」構成的區間便可運用中值定理
要素二：端點值（亦「關鍵點」處的函數值）
端點值需要考慮兩方面問題問題一：端點值的個數
端點值的個數與「關鍵點」的個數密不可分，每個「關鍵點」必對應著一個端點值
問題二：端點值有無約束
端點值有無約束決定著我們采用何種定理，結合上述「廣義中值定理解讀」來理解
要素三：介值區間 \xi\in[a,b] or \xi\in(a,b)
區間的開閉對解題方法的選擇至關重要，透過以上分析我們可以知道：閉區間 \xi\in[a,b] 只能使用介值定理來證明，而開區間 \xi\in(a,b) 則可以使用廣義中值定理來證明
要素四：等式or不等式
證明物件為等式：結合上述「廣義中值定理解讀」來理解證明物件為不等式：結合上述「廣義中值定理解讀」來理解
要素五：低階or高階
低階是指一階導高階是指二階導和三階導
法一：對函數 f(x) 利用中值定理進行逐次升維
f(x)\rightarrow f'(x)\rightarrow f''(x)\rightarrow f'''(x)
法二：對函數 f(x) 進行帶拉格朗日余項的泰勒展開
令 P_{1} =「要素一」+「要素二」
該部份是對題目所給條件的分析令 P_{2} =「要素三」+「要素四」+「要素五」
該部份是對證明物件的分析P_{1} 和 P_{2} 的關系
解題過程本質就是透過綜合分析 P_{1} 和 P_{2} 來得到所求結果的過程，對 P_{1} 的處理決定著我們擁有的資訊，對 P_{2} 的處理決定著我們采用的解題方法，二者之間透過我們所掌握的定理進行聯系首要分析工具 ：數形結合
數形結合即是將題目所給的條件畫在一個座標平面上（也即是將所反應的資訊畫在座標平面上）， 核心是標出「關鍵點」和「端點值」 ，此步是為了讓題目所給的資訊得以直觀反映首要問題 ：「證明物件」的維度變換問題
是否需要對「證明物件」進行維度變換是一個極其重要的問題，因其決定著我們采取的解題方法，大家可以結合上面20數二那道真題來理解第一步：對題目 所給條件 進行圖形化處理
將題目所給條件折射到座標平面上，標出「關鍵點」及其對應的「端點值」，並註意「端點值」有無約束第二步：對題目 證明物件 進行維度分析
是否對「證明物件」進行維度變換？①當「證明物件」不進行維度變換時
此時采取的定理：介值定理或零點定理
②當「證明物件」進行維度變換時（即降維）
此時采取的定理：費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理或帶拉格朗日余項的泰勒公式
例1
例2
例3
例4
例5
下期更新內容說明：
下期會更新上述中值類問題「思考框架」在一些題目中的具體實踐，向大家展示上述思想是怎麽解決具體題目的！
私信有點多，不能一一回復啦，還望大家見諒！隨緣回復啦！
還有就是大家可以在評論區說出自己想要看哪方面的內容，我會根據大家的需求決定下期更新的內容！
2020/09/22/更新求極限的思路總結
