這個問題太模糊, 我也不是數學專業的, 很多事情沒有發言權. 但我還是有一些自己的體會.
我很贊同
@周瑤的回答. 我覺得對於理工科大學生來說, 數學首先要搞明白的一件事情就是 定義 , 所謂數學功底, 可能指的是 理解定義, 並運用定義證明命題, 解決問題的能力.
我最近經常幫大一的學弟學妹們解決微積分和線性代數的問題. 我發現現在的高中生普遍沒有我上面所說的"數學功底". 最簡單的, 直接套定義的證明題他們都做不出來, 因為他們對於\epsilon-\delta 語言基本不能理解. 我在校內網絡答疑社區上竟然見到有這樣的問題:
一個函數的極限\lim_{x\to a}f(x)=L 。感覺這個有好幾種理解方式啊。比如說
version1：如果x向a靠近，那麽f(x)就向L靠近對吧
version2：只要我們把x移動的足夠靠近a，那麽f(x)可以足夠靠近L來達到我們滿意的一個程度
version3：對任意充分靠近a的x，f(x)都能最終以令人滿意的方式靠近L
他們就說著這種不精確的話, 自然最簡單的證明題都做不出來.
我前幾天有幸旁聽過一次大一的微積分課. 課後聽老師答疑, 他們問的問題都是非常不清楚. 造成這種不清楚的根源, 在我看來, 是定義沒有搞明白, 或者說沒有養成從定義出發思考問題的習慣. 回答大一新生的很多問題, 大部份情況下只需要引導他, 讓他自己說明白他的問題究竟是什麽. 比如當他們在說"無窮小", 在說"極限", 在說"趨於"時, 你只需要追問他你的這些詞回歸到最原始的定義究竟是什麽意思. 這樣下去一般只有兩種結果: 他發現他的問題自己就解決了, 或者他自己也不知道定義是什麽.
我以為造成這個現象的原因, 是中學數學教育存在問題. 在中學, 數學是不精確但又直觀的, 他們只需要用似是而非的概念做一些計算. 重要的是做題, 而不是概念本身. 而上了大學, 在高等數學中, 概念突然變得精確而又抽象, 這就導致了很多中學生不能適應, 出現了上面的各種問題.
當然, 第一次遇到新的定義可能會覺得不理解, 大概就是因為太抽象, 或者不能理解背後的 motivation.
對於太抽象的概念, 我覺得可以考慮一些具體的例子, 畢竟再抽象的概念也是從大量具體的例子中提煉出來的. 就像我們在考慮一個拓撲空間時, 或多或少總是在歐氏空間中考慮的. 再比如說, 在學習以抽象而著稱的範疇論時, 如果心中能想著代數拓撲中的諸多例子: 拓撲空間對於範疇(基本群胚), 連續對映對應函子, 同倫對應自然變換, 我想就會覺得範疇論好學很多.
對於定義背後的 motivation, 我覺得遇到一個好的老師/書, 可能在你初次接觸定義的時候就把 motivation 講得很清楚, 讓你覺得這個定義顯得自然. 比如為什麽要這麽定義開集? 因為描述"附近"這個概念, 最簡單直接的方式就是直接指定什麽是"附近". 如果初學時自己不能理解, 慢慢地在學習的過程中, 也會逐漸理解定義的妙處.
在我看來, 數學最大的魅力就在於下定義. 有人說 Manin 說過: "A good definition takes a group of first class mathematicians search in the dark for 30 years. " 恰當的定義可以讓我們用恰當的觀點看問題. 當我們從恰當的觀點看問題, 一切都變得簡單而自然.
你若是反駁我說工科生只需要用數學概念做計算, 解方程式. 那我無言以對.
