本節，我們將考察磁旋轉不穩定性，這對像形成中的恒星，中子星和黑洞這樣的大質素致密中心天體周圍的吸積盤特別重要。
圖10.11 對橢圓星系半人馬座A的可見光，微波和X射線觀測（上）揭示了中止於瓣的河外噴流的存在。（圖源ESO/WFI（可見光）；MPlfR/ESO/APEX/A. Weiss et al.（微波）；NASA/CXC/CfA/R. Kraft et al.（X射線）。）這些噴流的理論建模一般在MHD框架下進行（Ferreira, 1997）。在星系中心附近放大的影像（下）顯示了噴流起源處重達太陽質素的 10^7 倍以上的超大質素黑洞的位置。（圖源NASA/TANAMI/Müller et al.）
吸積盤由環繞著中心天體的等離子體，氣體和塵埃組成，如圖10.11。在近似的最低階，盤中物質處於中心天體重力（忽略盤自身的重力）和離心力間的平衡。這些物質於是符合Kepler第三定律，這對圓軌域給出 r^{-1/2} 形式的Kepler速度。物質在黏性介質中 先驗 地運動時，盤的徑向各層相互摩擦，將機械能轉化為熱。盤中物質於是落向中心天體，釋放熱輻射：這正是重力勢能轉化為輻射能的機制。例如，在活動星系核（AGN）中，光功率可達 10^{42} \mathrm{~J} / \mathrm{s} 。在多數情形，吸積伴隨著垂直於盤面的噴流形式的質素拋射，如圖10.11。為打破離心力和重力間的平衡，從而物質吸積入中心天體，必須存在能從旋轉物質中提取角動量的物理過程。上面說過，黏性摩擦可能有貢獻，但事實上一些估計表明，粘度差了好幾個數量級，太弱而無法解釋觀測。在其它可能的過程中，亂流似乎是輸運物質的高效方式。但直到最近，人們還未意識到存在相應的線性流體動力學不穩定性，因而它如何產生過去一直是個謎團。1991年，磁旋轉不穩定性被重新發現 [1] （Balbus和Hawley, 1991），並被認為是磁化吸積盤中亂流和物質輸運的主要起源。
我們將在（非相對論）標準不可壓縮理想無黏性MHD的簡化框架下證明磁旋轉不穩定性的存在。我們將考慮薄吸積盤；在柱座標下，對速度場有
\begin{gathered} \frac{\partial u_{r}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{r}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}=-\partial_{r} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{r}-\frac{b_{\theta}^{2}}{r}-\partial_{r} \Phi &(10.129)\\ \frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{\theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}=-\frac{1}{r} \partial_{\theta} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{\theta}+\frac{b_{r} b_{\theta}}{r}&(10.130) \\ \frac{\partial u_{z}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{z}=-\partial_{z} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{z}&(10.131) \end{gathered}
我們在盤中 r=r_0 處（如圖10.12）的一參考點附近作局域考察，我們取這點處的旋轉速度 u_{0 \theta}=r_{0} \Omega_{0} 為參考速度， \Omega_{0}=\Omega\left(r_{0}\right) 是軌域頻率。那麽速度覆寫成 \mathbf{u} \rightarrow r \Omega_{0} \mathbf{e}_{\theta}+\mathbf{u} ， \mathbf{u} 現在衡量相對Kepler速度的偏離，假定它很小。問題是軸對稱的，我們得到
\begin{gathered} \frac{\partial u_{r}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{r}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}-2 \Omega_{0} u_{\theta}-r \Omega_{0}^{2}=-\partial_{r} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{r}-\frac{b_{\theta}^{2}}{r}-\partial_{r} \Phi &(10.132)\\ \frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{\theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}+2 \Omega_{0} u_{r}=-\frac{1}{r} \partial_{\theta} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{\theta}+\frac{b_{r} b_{\theta}}{r} &(10.133)\\ \frac{\partial u_{z}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{z}=-\partial_{z} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{z}&(10.134) \end{gathered}
即
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}+2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u}=-\nabla P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{b}+\left(r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi\right) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}\quad \quad (10.135)
我們可以認出Coriolis力 -2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u} 和潮汐項 \left(r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi\right) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} 。平衡時，假定在徑向重力和離心力主導，那麽盤中（ r_{1} \leq r \leq r_{2} ）任意點處有
r \Omega^{2}=\partial_{r} \Phi\quad \quad (10.136)
其中 \Phi=-\mathcal{G} M / r ， \mathcal{G} 是重力常數， M 是中心天體的質素。特別地，參考點附近在一階有
r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi=r\left(\Omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)=-\left.2 \Omega_{0} r_{0}\left(r-r_{0}\right) \partial_{r} \Omega\right|_{r_{0}}=2 \Omega_{0}\left(r-r_{0}\right) S_{0}\quad \quad (10.137)
其中 S_{0}=-\left.r_{0} \partial_{r} \Omega\right|_{r_{0}} 解釋成重力潮汐效應造成的層流平均剪下。最後，我們在參考點 r_0 處引入局域Descartes座標系，如圖10.12。這給出
\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}+2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u} &=-\nabla P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{b}+2 \Omega_{0} y S_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{y}} &(10.138)\\ \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{b} &=\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{u}&(10.139) \end{aligned}
這裏，感應方程式同先前一樣。
我們尋找上述方程式組的線性解。為此，註意到 \mathbf{u}=S_{0} y \mathbf{e}_{\mathbf{x}} 是線性方程式的一個特解很有用。均勻磁場 b_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} 穿過吸積盤時，可在這剪下解附近得到線性解 \left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{b}_{1}\right) 。線性化的柱對稱方程式組可寫成
\begin{aligned} &\frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial t}=\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) u_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-2 \Omega_{0} u_{1 x} \mathbf{e}_{\mathbf{y}}-\nabla P_{*}+b_{0} \partial_{z} \mathbf{b}_{1} &(10.140)\\ &\frac{\partial \mathbf{b}_{1}}{\partial t}=b_{0} \partial_{z} \mathbf{u}_{1}+S_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}&(10.141) \end{aligned}
我們引入記號
\begin{aligned} &\mathbf{u}_{1} \rightarrow \mathbf{u}_{1} \exp \left(i\left(k_{y} y+k_{z} z-\omega t\right)\right) &(10.142)\\ &\mathbf{b}_{1} \rightarrow \mathbf{b}_{1} \exp \left(i\left(k_{y} y+k_{z} z-\omega t\right)\right)&(10.143) \end{aligned}
那麽
\begin{aligned} -i \omega \mathbf{u}_{1} &=\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) u_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-2 \Omega_{0} u_{1 x} \mathbf{e}_{\mathbf{y}}-i \mathbf{k} P_{*}+i k_{z} b_{0} \mathbf{b}_{1} &(10.144)\\ -i \omega \mathbf{b}_{1} &=+i k_{z} b_{0} \mathbf{u}_{1}+S_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}&(10.145) \end{aligned}
最終有
\left(\omega^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right) \mathbf{b}_{1}=i \omega 2 \Omega_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-k_{z} b_{0} P_{*} \mathbf{k}-2 \Omega_{0}\left(S_{0} b_{1 y}+i \omega b_{1 x}\right) \mathbf{e}_{\mathbf{y}}\quad \quad (10.146)
一些操作後，我們得到色散關系
\omega^{4}-\left(\alpha^{2} \kappa^{2}+2 k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right) \omega^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\left(2 \Omega_{0} S_{0} \alpha^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right)=0\quad \quad (10.147)
其中 \kappa^{2} \equiv 2 \Omega_{0}\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) 是本輪頻率， \alpha \equiv k_{z} / k 。通解是
\omega_{\pm}^{2}=k_{z}^{2} b_{0}^{2}+\frac{\alpha^{2} \kappa^{2}}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{4} \kappa^{4}+16 k_{z}^{2} b_{0}^{2} \Omega_{0}^{2} \alpha^{2}}\quad \quad (10.148)
對解 \omega_{-}^{2} 的考察揭示了，特定條件下會出現不穩定性：穩定性條件 \omega_{-}^{2}>0 給出
k b_{0}>\sqrt{2 \Omega_{0} S_{0}}=\sqrt{\frac{4}{3}} S_{0}\quad \quad (10.149)
最後一個等號對Kepler盤成立，它滿足 S_{0}=3 \Omega_{0} / 2 ， \kappa^{2}=4 S_{0}^{2} / 9 。因此，強磁場 b_0 可穩定化盤。但弱些的場 b_0 造成 磁旋轉不穩定性 ，這基本上發生在大尺度上，也就是 k 很小時。因此，對一定範圍內的 b_0 ，吸積盤是不穩定的。最後，容易證明Kepler情形下磁旋轉不穩定性的增長率在
k b_{0}=\sqrt{\frac{5}{12}} S_{0}\quad \quad (10.150)
時最大。特別地， \alpha=1 時，我們得到 \omega_{-}^{2}=-S_{0}^{2} / 4 ，那麽增長率是
\gamma_{\max }=S_{0} / 2\quad\quad (10.151)
這是相當大的數：為體會這點，我們可以計算盤旋轉一周，也就是 \tau=2 \pi r_{0} / u_{0 \theta}=2 \pi / \Omega_{0} 時不穩定性增長了多少。這給出
\exp \left(\gamma_{\max } \tau\right)=\exp \left(\frac{3 \pi}{2}\right)>110\quad \quad (10.152)
在這時標下，磁旋轉不穩定性的增長是爆炸性的。圖10.13對不同 \alpha 顯示了 S_0=1 時的解 \omega_{-}^{2} 。註意，在這些條件下，強場下磁旋轉不穩定性系統地消失。
參考
- ^ 事實上，E. Velikhov（1959）和S. Chandrasekhar（1960）第一次強調磁旋轉不穩定性的存在。
