簡單起見，我們討論單位長度的線段隨機分成 n 段時，最短一段的長度 X 的期望。最短一段的長度不能超過 \frac{1}{n} ，則 P(X\le\frac{1}{n})=1 。
引理：記第一條線段的長度為 Y_1 ，有 P(Y_1\ge x)=(1-x)^{n-1} ，等號右邊是切割原線段的 n-1 刀全部落在 [x,1] 區間內的概率，是首條線段長度不小於 x 的充要條件。則所有線段長度均不小於 x 的概率為 (1-nx)^{n-1} ，也就是說 P(X\ge x)=(1-nx)^{n-1} 。
該定理的嚴格證明需要計算 n-1 重積分，在此略去繁瑣的計算過程，僅給出直觀的理解：因為 n 條線段的長度均不小於 x ，可以認為 nx 長度的區域已經被指定均勻劃分，切割的 n-1 刀只能均勻落在 (1-nx) 區域內，因此 P(X\ge x)=(1-nx)^{n-1} 。現在可以計算 X 的期望：
