这道题这么多人问呀, 第四次回答. 一般就是按照机械能守恒判断呀, 系统机械能守恒, 但显然两球各自的机械能不守恒, 各自机械能的变化量大小相等, 一正一负, 相互抵消, 所以杆对两个小球都是做功的, 只是一个做正功, 一个做负功, 做功大小相等, 但一正一负, 在系统里相互抵消. 以下具体分析:
自由转动的杆中，如果杆连接着两个或以上的质量不可忽略的物体时，那么在研究其中一个物体的受力时，自由转动的杆就不能看作轻质的二力杆模型，应看作有重力作用的杆，此种情况杆不仅会产生拉伸形变，也会发生弯曲形变，杆对物体的弹力就不沿杆的方向.
此题容易错误认为两个小球在转动过程中机械能守恒， 而事实上若研究其中一个球时，杆就不能看作自由转动的轻杆，杆会发生微小弯曲形变，对物体的弹力不沿杆的方向，杆对 A
球或 B
球均有做功， 并使 A
或 B
机械能不守恒， 但是 A,B
组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的。
所以本题中杆对 A,B
两球均有做功，且杆对两球总功为零，系统只有重力做功 ，系统机械能守恒. 以下定量分析.
刚性连接体做定轴转动时, 与角相关的量(角位移 \theta
, 角速度 \omega
, 角加速度 \varepsilon
)相同. 设系统下降过程中与竖直方向的夹角为 \theta
, 每杆长 r
, 两小球质量均为 m
, 则在下降过程中两球速度之比 {v}_{{B}}=2{v}_{{A}}
, 由系统机械能守恒可得: \begin{equation}{m}{g}{r}{\operatorname{cos}{\theta}}+{m}{g}.2{r}{\operatorname{cos}{\theta}}={\frac{1}{2}}{m}{{v}_{{A}}^{2}}+{\frac{1}{2}}{m}{{v}_{{B}}^{2}}={\frac{1}{2}}{m}{{v}_{{A}}^{2}}+{\frac{1}{2}}{m}{{\left(2{v}_{{A}} \right)}^{2}} \\ 3{m}{g}{r}{\operatorname{cos}{\theta}}={\frac{5}{2}}{m}{{v}_{{A}}^{2}}\Rightarrow{v}_{{A}}={\sqrt{{\frac{6}{5}}{g}{r}{\operatorname{cos}{\theta}}}};~{v}_{{B}}=2{v}_{{A}}={\sqrt{{\frac{24}{5}}{g}{r}{\operatorname{cos}{\theta}}}}\end{equation}
A,B
小球对 O
点的转动惯量分别为 mr^2,m(2r)^2=4mr^2;
按照系统转动惯量的组合定理, 系统的转动惯量 \begin{equation}{J}={m}{r}^{2}+4{m}{r}^{2}=5{m}{r}^{2}\end{equation}
;
合外力矩 \Sigma{M}_{{O}}={m}{g}{r}{\operatorname{sin}{\theta}}+{m}{g}.2{r}{\operatorname{sin}{\theta}}=3{m}{g}{r}{\operatorname{sin}{\theta}}
;
由刚体转动定律 \Sigma{M}_{{O}}={J}\epsilon
得转动的角加速度 \begin{equation}\epsilon={\frac{{M}_{{O}}}{{J}}}={\frac{3{m}{g}{r}{\operatorname{sin}{\theta}}}{5{m}{r}^{2}}}={\frac{3{g}}{5{r}}}{\operatorname{sin}{\theta}}\end{equation}
按照切向加速度 a^\tau
和法向加速度 a^n
对 A,B
作运动分析, 定轴转动沿径向速度不变, 法向加速度就是向心加速度只改变速度方向, 切向加速度等于角加速度乘以转动半径(或者曲率半径), 受力分析按照法向和切向分别分析, 两个方向的分力除重力的分力提供外, 由两杆提供另两个分力. 所以 \begin{equation}{\left \{ ~\begin{matrix}{{a}^{{n}}_{{A}}={\frac{{v}_{{A}}^{2}}{{r}}}={\frac{6}{5}}{g}{\operatorname{cos}{\theta}};~{a}^{{n}}_{{B}}={\frac{{v}_{{B}}^{2}}{2{r}}}={\frac{12}{5}}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}}\\ {a}^{\tau}_{{A}}={r}\epsilon={\frac{3}{5}}{g}{\operatorname{sin}{\theta}};~{a}^{\tau}_{{B}}=2{r}\epsilon={\frac{6}{5}}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}\ \end{matrix}\right.} \\ \text{ }\end{equation}
如果把两球和杆 2
组成的系统当做一个整体, 分析杆 1
对其作用力,按照法向和切向分别分析: \Sigma{F}^{{n}}={T}^{{n}}_{1}-2{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}={m}{a}^{{n}}_{{A}}+{m}{a}^{{n}}_{{B}}={\frac{18}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}\Rightarrow{T}^{{n}}_{1}={\frac{28}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}};~ \\ \Sigma{F}^{\tau}=2{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}-{T}^{\tau}_{1}={m}{a}^{\tau}_{{A}}+{m}{a}^{\tau}_{{B}}={\frac{9}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}\Rightarrow{T}^{\tau}_{1}={\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}
杆 1
对球作用力不是沿杆方向的, 因为其在切向也受力. 则杆 1
受到球对其反作用力
{T}'_{1}={\sqrt{{\left({T}^{{n}}_{1} \right)}^{2}+{\left({T}^{\tau}_{1} \right)}^{2}}}={\sqrt{{\left({\frac{28}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}} \right)}^{2}+{\left({\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}} \right)}^{2}}}={\frac{{m}{g}}{5}}{\sqrt{783{\operatorname{cos}^{2}{\theta}}+1}}
也就是沿径向向外偏下一点儿. 同时转动轴 O
对杆 1
的作用力与 T'_1
大小相等方向相反.
分析杆 2
的受力情况主要分析其对 B
球的作用力. \begin{equation}{\left \{ ~~\begin{matrix}{{a}^{{n}}_{{B}}={\frac{{v}_{{B}}^{2}}{2{r}}}={\frac{{\left({\sqrt{{\frac{24}{5}}{g}{r}{\operatorname{cos}{\theta}}}} \right)}^{2}}{2{r}}}={\frac{12}{5}}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}}\\ {{a}^{\tau}_{{B}}=2{r}\epsilon=2{r}.{\frac{3{g}}{5{r}}}{\operatorname{sin}{\theta}}={\frac{6}{5}}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}} \end{matrix}\right.};~ \\ {\left \{ ~\begin{matrix}{\Sigma{F}^{{n}}_{{B}}={m}{a}^{{n}}_{{B}}\Rightarrow{T}^{{n}}_{2}-{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}={m}.{\frac{12}{5}}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}\Rightarrow{T}^{{n}}_{2}={\frac{17}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}}\\ {\Sigma{F}^{\tau}_{{B}}={m}{a}^{\tau}_{{B}}\Rightarrow{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}+{T}^{\tau}_{2}={m}.{\frac{6}{5}}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}\Rightarrow{T}^{\tau}_{2}={\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}} \end{matrix}\right.}\end{equation}
杆 2
对 B
的作用力的合力 \begin{equation}{T}_{2}={\sqrt{{\left({T}^{{n}}_{2} \right)}^{2}+{\left({T}^{\tau}_{2} \right)}^{2}}}={\sqrt{{\left({\frac{17}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}} \right)}^{2}+{\left({\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}} \right)}^{2}}}={\frac{{m}{g}}{5}}{\sqrt{289{\operatorname{cos}^{2}{\theta}}+{\operatorname{sin}^{2}{\theta}}}}={\frac{{m}{g}}{5}}{\sqrt{288{\operatorname{cos}^{2}{\theta}}+1}}~\end{equation}
所以杆 2
受到 B
球对其的弹力 T'_{2}
与其对 B
的作用力大小相等, 方向相反, 就是沿径向向外朝下偏一点. 同样, 杆 2
在 A
端也是受到大小相等, 方向相反的作用力.
杆对小球的切向反力对小球做功, A
球受到的反力为 {T}^{\tau}_{1}+{T}^{\tau}_{2}={\frac{1}{5}}{m}{gsin\theta}+{\frac{1}{5}}{m}{gsin\theta}={\frac{2}{5}}{m}{gsin\theta}
方向始终与 A
球运动方向即速度方向相反, 所以杆对小球 A
做负功, B
球受到杆的切向反力 {T}^{\tau}_{2}={\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{sin}{\theta}}
, 对 B
球做正功, 所以 A
球受到的切向反力是 B
球的两倍, B
球沿反力方向运动的弧长是 A
球的两倍, 所以杆对两球做的功大小相等, 一正一负, 正好相互抵消, 整体机械能守恒. 具体做功数值: \begin{equation}{W}_{{A}}=\int_{{{\frac{\pi}{2}}}} ^{{0}} \overset{\rightarrow}{F}.{d}\overset{\rightarrow}{s}=\int_{{{\frac{\pi}{2}}}} ^{{0}} -{\frac{2}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}.{r}{d}\theta={\frac{2}{5}}{m}{g}{r}{\operatorname{sin}{\theta}}\begin{matrix}{0}\\ \frac{\pi}{2}\ \end{matrix}=-{\frac{2}{5}}{m}{g}{r};~ \\ {W}_{{B}}=\int_{{{\frac{\pi}{2}}}} ^{{0}} \overset{\rightarrow}{F}.{d}\overset{\rightarrow}{s}=\int_{{{\frac{\pi}{2}}}} ^{{0}} {\frac{1}{5}}{m}{g}{\operatorname{cos}{\theta}}.2{r}{d}\theta=-{\frac{2}{5}}{m}{g}{r}{\operatorname{sin}{\theta}}\begin{matrix}{0}\\ \frac{\pi}{2}\ \end{matrix}={\frac{2}{5}}{m}{g}{r};~\end{equation}
这个与水平位置降到竖直位置两球各自机械能的变化一致. 因为设到最低点 A
球速度为 v
, 则 B
的速度 2v
, 于是系统机械能守恒 \begin{equation}{\frac{1}{2}}{m}{v}^{2}+{\frac{1}{2}}{m}{{\left(2{v} \right)}^{2}}={m}{g}{r}+{m}{g}.2{r}\Rightarrow{\frac{5}{2}}{m}{v}^{2}={m}{g}.3{r}\Rightarrow{v}={\sqrt{{\frac{6}{5}}{g}{r}}}\end{equation}
;
两球各自机械能的变化为: \begin{equation}\Delta{E}_{{A}}={\frac{1}{2}}{m}{v}^{2}-{m}{g}{r}={\frac{1}{2}}.{m}.{\frac{6}{5}}{g}{r}-{m}{g}{r}={\frac{3}{5}}{m}{g}{r}-{m}{g}{r}=-{\frac{2}{5}}{m}{g}{r}={W}_{{A}};~ \\ \Delta{E}_{{B}}={\frac{1}{2}}{m}{{\left(2{v} \right)}^{2}}-{m}{g}.2{r}={\frac{1}{2}}{m}.4.{\frac{6}{5}}{g}{r}-2{m}{g}{r}={\frac{12}{5}}{m}{g}{r}-2{m}{g}{r}={\frac{2}{5}}{m}{g}{r}={W}_{{B}}\end{equation}
与按照动力学分析出来的结果一致.
