只要学过广义相对论，学过 史瓦西度规(Schwarzschild metric) ，就能够很轻易地回答这个问题。我这里可以用一个简单的例子科普一下引力对光的作用。爱因斯坦在1915年，通过广义相对论的计算，预言了一束光在射向太阳周边时， 出射光会在太阳引力的影响下发生偏转 ，同时他还通过 微扰论 的方法解出了 出射光偏转的角度 ，并在后来，该结果得到了实验的验证，奠定了爱因斯坦广义相对论的成功。
太长不看版：在大质量球对称物体的周围， 时空因为引力的作用发生了弯曲 ，而光是沿着该弯曲时空中的最短距离的线—— 测地线（geodesics） 运动的，所以在弯曲的时空中运动时，光的轨迹会发生偏转。
正式推导版：
1. 基本方程的推导
首先，我们知道在质量为 M 的球形物体周围的真空中，时空由 史瓦西度规(Schwarzschild metric) 给出
ds^2=-(1-\frac{2GM}{r})dt^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2\theta d\phi^2 \tag{1}
其中 G 是万有引力常量， s 是proper distance（我甚至不知道它中文是啥），t 是时间， r 是径向距离， \theta 和 \phi 是相对 z 轴和 x 轴的夹角。因为我们具有三维的旋转对称性，所以我们可以取任意的 \theta 角作为我们所讨论的平面，我们不妨取 \theta = \pi/2 ，此时史瓦西度规简化为
-d\tau^2=-(1-\frac{2GM}{r})dt^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2+r^2d\phi^2 \tag{2}
其中 d\tau^2=-ds^2 ， \tau 是 固有时(proper time) ，也就是一个 观察者在自己的参考系里看到的自己的时间 （这个时候大家是不是已经想到时间膨胀效应了）。然后我们知道，在史瓦西度规下，有两个 Killing Vector 如下（可以简单理解为 时间平移对称性 和平面内的 旋转对称性 ，所以一个是对 t ，一个是对 \phi ）
K=\frac{\partial}{\partial t}=(1,0,0,0) ,\ R=\frac{\partial}{\partial\phi}=(0,0,0,1) \tag{3}
一个Killing Vector对应一个守恒量，所以我们把这两个Killing Vector分别对粒子的4-速度（4-velocity） u=(\frac{dt}{d\tau},\frac{d\vec{v}}{d\tau}) 做点积，即可得到如下的两个守恒量
\varepsilon=-K\cdot u = -g_{t\mu} u^{\mu}=(1-\frac{2GM}{r})\frac{dt}{d\tau}=const \\ l=R\cdot u=g_{\phi\mu}u^{\mu} = r^2\frac{d\phi}{d\tau}=const \tag{4}
这里用 \varepsilon 来表示第一个守恒量，是因为它的定义就是 「机械能密度」 ，所以用一个能量密度的符号来表示它，第一个式子可以理解为 能量守恒 ；而用 l 来表示第二个守恒量，自然是利用了这个式子和 角动量 的相似性，因此第二个式子可以理解为 角动量守恒 。把(1)式两边同时除以 d\tau^2 ，同时考虑到，对于无质量粒子，比如光子而言，它的正规时间proper time d\tau =0 ，我们有
0=-(1-\frac{2GM}{r})(\frac{dt}{d\tau})^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}(\frac{dr}{d\tau})^2+r^2(\frac{d\phi}{d\tau})^2 \tag{5}
把(4)式中的两个守恒量代到(5)式中，两边同时乘以 (1-\frac{2GM}{r}) 可得
-\varepsilon^2+(\frac{dr}{d\tau})^2+(1-\frac{2GM}{r})\frac{l^2}{r^2}=0 \tag{6}
合理地移动上式中的项，并定义一个 有效能量Effective energy E_{eff}=\frac{1}{2}\varepsilon^2 ，我们有
\frac{1}{2}(\frac{dr}{d\tau})^2+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{GMl^2}{r^3}=E_{eff}\tag{7} 为了之后的计算方便，我们需要重新定义(7)式中的变量，我们定义 u=1/r ，对 u 求 r 的一阶导，并且利用式(4)，我们直接得到
\frac{du}{dr}=-\frac{1}{r^2}=-\frac{1}{l}\frac{d\phi}{d\tau}\\ \frac{dr}{d\tau} = -l\frac{du}{d\phi} \tag{8}
把这个结果替换到式(7)里头，我们就得到了一个 u(\phi) 需要满足的 非线性微分方程
\frac{1}{2}l^2(\frac{du}{d\phi})^2+\frac{l^2}{2}u^2-GMl^2u^3=E_{eff} \tag{9}
这个式子为接下来的分析提供了非常大的便利。
2. 光在太阳引力下发生偏转的物理图景
好了，现在我们有了方程，接下来我们来考虑物理图景，如下图， 太阳 是中间那个紫色的球体，质量为 M ，我们利用旋转对称性，把 z 轴摆到 垂直纸面指向我们的方向 ，所以纸面内的坐标就由 r 和 \phi 来决定了。我们认为 \phi 轴是指向正右方， r 轴指向正上方，考虑一束光在右边入射（蓝色的箭头），也就是 \phi=0,r(0)=-\infty,u(0)=0 处，它入射的这条线（黑色实线）和太阳有一个垂直距离 b ，这个在散射理论里叫做 impact factor （原谅我又不知道它中文叫什么），这个垂直距离会「大约」在 \phi =\pi/2 处达到。
因此，我们可以知道， r 的最小值就是 b ，同时 u 的最大值是 1/b 。在经过太阳引力的偏转后，这个光束会被偏转一个角度 \delta\phi 并出射，如图左边的蓝色箭头，此处 \phi=\pi+\delta\phi ，同时 r(\pi+\delta \phi)=\infty,u(\pi+\delta \phi)=0 ，我们的目标就是利用这个物理图景和公式(9)，算出这个 \delta \phi ，并且和实验做比较。
首先自然是利用 u_{max}=1/b 这个条件，得出 E_{eff} 的值，在 u=u_{max}=1/b 处， \frac{du}{d\phi}=0 ，代入公式(9)，我们有
E_{eff}=\frac{l^2}{2b^2}-\frac{GMl^2}{b^3}\tag{10}
所以(9)式变为
(\frac{du}{d\phi})^2+u^2-\frac{1}{b^2}=2GM(u^3-\frac{1}{b^3}) \tag{11}
之后我们会用微扰法来求解这个非线性方程。这里插一句玩笑话，在上课的时候，老师讲到这里要用微扰论来做，然后我们就有个同学问到，这个方程看起来很简单呀，为什么不能直接放进MATLAB里数值解一个初值问题呢？我随手就可以写出来。老师回答，你要考虑到，当初爱因斯坦解这个方程的时候是1915年，那个时候别说MATLAB，连电脑都没有，我们不用微扰论，还能用什么做呢？每每想到这里，我都会感慨于先人之技艺精湛。
3. 微扰论计算偏转角度
我们利用，太阳的半径远远大于 2GM 这一点（这个我们可以查资料得到，或者从物理意义上看也很清楚，史瓦西度规告诉我们， 2GM 表示的是 黑洞的视界(event horizon) ，太阳的半径如果小于或者差不多等于它，那太阳就是个黑洞了，不过实际上太阳的密度远远小于黑洞的密度，所以半径要远大于这个值），可以引入一个微扰展开的因子
\xi=\frac{2GM}{b} \tag{12}
把式(11)写成
(\frac{du}{d\phi})^2+u^2-\frac{1}{b^2}=b\xi(u^3-\frac{1}{b^3}) \tag{13}
然后我们假设我们的解 u 可以写成如下的对 \xi 的微扰展开的形式
u=u_0+u_1+O(\xi^2) \tag{14}
其中 u_0 是\xi 的0阶项， u_1 是 \xi 的一阶项，然后更高阶的项我们就可以直接丢掉了，因为 \xi 是个小量。把(14)式代入(15)式中，我们有（只保留到 \xi 的一阶项）
(\frac{du_0}{d\phi})^2+2\frac{du_0}{d\phi}\frac{du_1}{d\phi}+u_0^2+2u_0 u_1-\frac{1}{b^2}=b\xi(u_0^3-\frac{1}{b^3}) + O(\xi^2) \tag{15}
4. 0阶方程的求解
我们取出(15)式中的0阶项，得到如下的方程
(\frac{du_0}{d\phi})^2+u_0^2-\frac{1}{b^2}=0 \tag{16}
我相信不少数学好的同学可以一眼看出这个方程的解，它的解就是
u_0(\phi)=\frac{1}{b}\sin(\phi) \tag{17}
可以很轻松地检查这个解满足我们的边界条件。
5. 1阶方程的求解
把式(17)代回式(15)，并且注意到0阶的方程的那几项已经互相消掉了（因为这个 u_0 满足0阶方程(16)），我们有
2\frac{du_0}{d\phi}\frac{du_1}{d\phi}+2u_0 u_1=b\xi(u_0^3-\frac{1}{b^3}) \tag{18}
即
\frac{du_1}{d\phi}\frac{1}{\cos(\phi)}+\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} u_1=\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin^3(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) \tag{19}
这个式子看起来很繁琐（其实确实很繁琐），但是仔细观察可以发现，它是可以很好地简化的，因为式子的左边可以写成
LHS=\frac{du_1}{d\phi}\frac{1}{\cos(\phi)}+\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} u_1 = \frac{d}{d\phi}(\frac{u_1}{\cos(\phi)}) \tag{20}
而式子的右边又可以写成
RHS=\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)(1-\cos^2(\phi))}{\cos^2(\phi)}-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) =\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\sin(\phi)-\frac{1}{\cos^2(\phi)})\tag{21}
把(20)和(21)放进(19)里，我们就得到了一个很简单的形式
\frac{d}{d\phi}(\frac{u_1}{\cos(\phi)}) =\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\sin(\phi)-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) \tag{22}
大家可以看到，要解式(22)，我们只要把式子两边对 \phi 积分就好了，正好式子右边又是几个简单的三角函数，这里要是谁不会积，是得回去向自己的微积分（或者数学分析）老师道歉的噢。对 \phi 积分，我们得到
\frac{u_1}{\cos(\phi)} = \frac{\xi}{2b}(\frac{1}{\cos(\phi)}+\cos(\phi)-\tan(\phi)) + C \tag{23}
这里 C 是做不定积分的时候得出来的积分常数，所以最后我们就有如下的解
u_1(\phi)= \frac{\xi}{2b}(1+\cos^2(\phi)-\sin(\phi)) + C\cos(\phi) \tag{24}
利用初始条件 u(0) = 0 ，我们可以求出常数 C = -\frac{\xi}{b} ，再结合之前解出来的 u_0 = \frac{1}{b}\sin(\phi) ，也就是式(17)，我们得到了微分方程(11)，微扰展开到 \xi 的一阶的解，如下
u(\phi)=u_0(\phi)+u_1(\phi) = (1-\frac{1}{2}\xi)\frac{1}{b}\sin(\phi)+\frac{\xi}{2b}(1-\cos(\phi))^2 + O(\xi^2) \tag{25}
哇，真是一段很长的旅途，但是接下来就轻松了，因为我们现在可以计算光经过太阳引力场的偏转角了！
6.偏转角的计算
此处我们代入光在出射之后的边界条件即 u(\pi+\delta \phi)=0 ，我们有
(1-\frac{1}{2}\xi)\frac{1}{b}\sin(\pi+\delta\phi)+\frac{\xi}{2b}(1-\cos(\pi+\delta\phi))^2 = 0 \tag{26}
因为我们知道这个偏转角 \delta\phi 是小量，所以我们可以把正弦余弦函数都在 \pi 处展开，就得到了如下的近似
\sin(\pi+\delta\phi) =\sin(\pi)+\delta \phi \cos(\pi)+O(\delta\phi^2)\approx -\delta \phi\\ \cos(\pi+\delta\phi)=\cos(\pi)-\delta \phi \sin(\pi)+O(\delta\phi^2)\approx -1 \tag{27}
所以式(26)式就变成了（注意到 \xi \ll1 ）
-\frac{1}{b}\delta\phi+\frac{\xi}{2b}2^2=0 \tag{28}
即
\delta \phi \approx 2\xi \approx \frac{4GM}{b} \tag{29}
首先第一件事，我们要check这个结果是不是符合我们的假设，我们注意到 \delta \phi \propto \xi \ll1 确实是一个非常微小的转角，所以之前做的一系列近似是没问题的，其次，我们要对比实验，如果我们认为这个光就直接在太阳表面掠过的话， b\approx R 即太阳的半径，那么可以得到如下的转角数值
\delta \phi \approx 1.75'' \tag{30}
这里的 '' 是角秒的意思，也就是 1^\circ = 60'=3600'' ，可见这个偏转角确实非常非常小，以至于没有很精确的实验根本观察不到，但是人类的力量是伟大的，我们后来在太阳系中真的做了相应的实验，并且得到了式(30)的实验结果，又一次证明了爱因斯坦广义相对论的正确。
7.小结与展望
这里我推了一遍我们在广义相对论课上学到的光在太阳引力作用下的偏转角度的计算方法，大家可以自己推一遍并且我们一起交流讨论。从中可以得知， 引力对无质量的粒子也是有作用的 ，绝非大家直观上用 牛顿力学 可以猜测的，因为 无质量粒子没有质量 ，所以 不会受到引力的作用 。当我们在考虑无质量粒子这种fancy的东西时，一般来说都需要从广义相对论的角度出发，而非经典的牛顿力学。一言以蔽之，由广义相对论我们得知，一个 球体周围的时空 在它的引力场下发生了 弯曲 ，所以光在其中的运动，是会受到相应的影响的，即便光是沿着这个弯曲时空中的最短距离—— 测地线（geodesic） 。
另外给大家留一道 思考题 ，如果是一个 接近光速飞行 的 微小质量粒子 射向太阳，你能够按照我上述的推导步骤，得出它在太阳引力下的偏转角度吗？在这种情况下，微小质量粒子的proper time d\tau \neq0 ，所以公式(5)变为（公式左边不再是0，而是1了）
-1=-(1-\frac{2GM}{r})(\frac{dt}{d\tau})^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}(\frac{dr}{d\tau})^2+r^2(\frac{d\phi}{d\tau})^2 \tag{31}
只要你完整地按着我的步骤推导一遍，你会得到一个很神奇的结果。而 如何构造一个实验来区分微小质量粒子 m\ll1 和无质量粒子 m=0 可是我们广义相对论的一道考试题噢，我相信你如果做得出来，你会对此有更深入的理解。
References
Jacob Barandes, Lecture Notes 34,35, Physics 210: General Theory of Relativity, Spring 2021, Harvard University
