前n项平方和公式怎么推导？

\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0

很容易证明该公式，只需约去中间的一些项。求 \sum\limits_{i=1}^ni^2 ，只要求出数列 a_n 使得 a_i-a_{i-1}=i^2(1\leq i \leq n) ，所求结果为 a_n-a_0

列出方程 n^2 = (3n^2-3n+1)x + (2n-1)y + z

比较对应次幂，得到方程组

\begin{cases} 3x = 1 \\ -3x+2y=0\\ x-y+z=0\\ \end{cases}

解该方程组得 x=1/3,y=1/2,c=1/6 ，于是待求数列为 a_n=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

把 n=0 代入得到 a_0 = 0 ，公式右端 a_n-a_0=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) 即为所求的结果。

以前看过一篇文章里也有用类似的方法推导平方和公式，我改进了一下证明过程，变得更加容易理解。最后吐槽一下，无法在表格内插入公式，又无法在插入latex公式中使用表格。