不要总是纠结于小数的无限循环还是不循环。
小数只是数的一种表现形式而已，并不是数的本质。比如你题目中用来举例的1/17。你别看它写成小数是乱七八糟一大堆，那不过因为我们所用的小数是十进制数的缘故。如果换成是17进制的小数，不就写成0.1了嘛！同理，65/17也就写成了 3.E（用A-G表示10-16）！是不是一点都不乱？你想想，归根结底是由于人类碰巧长了10跟手指头，所以我们才用了10进制。若换成是另外一个星球上的智能生命，长了三只手、21根手指的，人家可能就用21进制数呢。Get it?
所谓有理数，就是能写成 \frac{m}{n}(m\in Z, n \in Z, n\neq 0) 的数。我们遇到一个数，不能这么表示的，那它就不是有理数。
好比我们可以证明 \sqrt{2} 不是有理数。
如上图，根据毕达哥拉斯定理，
\begin{align} r^2 =& 1^2 + 1^2 \\ r =& \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \end{align}
我们假定r是有理数，那么它就应该可以写成整数比上非零整数的形式。又因为所有的分数都可以化简为互质数的比。我们就可以把 r 写成分子分母互质的最简分数 m/n。
\begin{align} & r = \frac{m}{n} \\ & r^2 = \frac{m^2}{n^2} = 2\\ & m^2 = 2n^2 \\ & \because 2n^2 为某整数的二倍，因而必为偶数\\ & \because 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数\\ & \therefore m 为偶数\\ & 令 m = 2k , 则 k 必为整数\\ & 2n^2 = (2k)^2 = 2^2k^2 = 2\cdot 2k^2\\ & n^2 = 2k^2\\ & \therefore n 也是偶数\\ &\therefore m 与 n 不是互质关系\\ & \therefore r 不是有理数 \end{align}
\sqrt{2} 不是有理数，然而如上图所示，它又能通过尺规作图法被画在数轴上（C点）。也就是说，他在数轴上的位置是 明确 的。
你之所以纠结于没完没了的小数点后的数位，是因为没有认识清楚，小数本质上是就是一种变了形的分数。
a.bcdef... = a + \frac{b}{10}+ \frac{c}{100}+ \frac{d}{1,000}+ \frac{e}{10,000}+ \frac{f}{100,000}...
有理数的和还是有理数。
所以根本上，小数就不能（或者不能确切地）表示无理数。我们硬要把无理数，比如\sqrt{2} ，写成小数的形式，写出来的就只能是近似值。
既然一个无理数在数轴上的位置是明确的，我们就能找到略大或略小于它的有理数。有理数是可以写成小数的，借助逼近它的小数，我们就能够直观地感知到它的值大约是多大。
你看，分数31/71 和 137/311 究竟谁大于谁， \sqrt{731} 和27又是谁大谁小，是不是很难判断？换成小数，\frac{31}{71}\approx0.437,\frac{137}{311}\approx0.440,\sqrt{731}\approx27.037 , 是不是就一目了然了！
我们社会的各个领域中都普遍使用小数，就是因为它直观。但是，正如我一开始所说的那样，不要把形式跟本质搞颠倒了。31/71 只是约等于 0.437，它的本质是71份里取31份； \sqrt{2} 只是约等于1.414，它的本质是面积为2的正方形的边长。
