用数学严格定义这个问题：X_1,X_2,\ldots, X_n 是独立同分布的变量满足
\Pr(X_i=1.1)=\Pr(X_i=0.9)=1/2,
求S_n=X_1\cdot X_2\cdots X_n 的分布。
注意到 \log S_n=\log X_1+\log X_2+\cdots+\log X_n, 而 \log X_1, \log X_2, \ldots, \log X_n 也是独立同分布的变量满足
\Pr(\log X_i=\log 1.1)=\Pr(\log X_i=\log 0.9)=1/2.
计算 \log X_i 的期望和方差分别等于 \frac{1}{2}\log 0.99\approx -0.0022 和 \frac{1}{4}\log^2 \frac{11}{9}\approx 0.0019.
根据中心极限定理，当 n 足够大的时候，
\log S_n 近似服从正态分布 \mathcal{N}\Big(\frac{n}{2}\log 0.99 , \frac{n}{4}\log^2 \frac{11}{9}\Big)\approx \mathcal{N}(-0.0022n, 0.0019n),
于是 S_n 近似服从对数正态分布 \textrm{Lognormal}\Big(\frac{n}{2}\log 0.99 , \frac{n}{4}\log^2 \frac{11}{9}\Big).
当 n 趋于正无穷的时候， 对于任意一个正数 \epsilon>0, \Pr(S_n\le \epsilon)=\Pr(\log S_n\le \log \epsilon)=\Phi\left(\frac{\log \epsilon+\frac{n}{2}\log \frac{1}{0.99}}{\frac{\sqrt{n}}{2}\log \frac{11}{9}}\right)\to \Phi(+\infty)=1.
因此 S_n 会依概率收敛于0。
