世界上存在周长为整数，半径也是整数的圆吗？

2022-02-13知识

首先来看圆及其半径和周长的定义:

圆是一个平面上所有与某一定点 O 之间的距离等于某一定值 r 的点的集合。
圆的半径是上述定值 r 。
圆的周长是组成圆的曲线的长度。

在圆的定义中，「平面」这一概念很好理解，这里我们用平面直角坐标系描述平面。

然而「距离」这一概念的定义尚不明确。这里我们假定此处的距离是一个函数 d(X,Y) ，它接收2个平面上的点，输出1个实数，这个实数即是两点之间的距离。

例1：我们一般说的距离又称 欧几里得距离 ，用勾股定理进行计算，两点 X,Y 之间的距离 d(X,Y)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分别是点 X,Y 的坐标。

例2： 曼哈顿距离 ： d(X,Y)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分别是点 X,Y 的坐标。什么？你问哪有这种距离？

游戏【Minecraft】中，足够大的平面上的一方块水最多可以流出曼哈顿距离7方块远。这个「菱形」区域的边缘方块与它的中心方块的曼哈顿距离是7。

例3： 切比雪夫距离 ：d(X,Y)=\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|) ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分别是点 X,Y 的坐标，\max(a,b) 表示 a 和 b 中最大的那个值。

国际象棋中，「王」可以移动到与自己的切比雪夫距离为1的任何空格子上。

以上三种距离的定义都符合以下条件：

我们称满足这三个条件的函数为 度规(metric) 。某种意义上，度规是距离的「完全体」。

我们注意到，如果使用切比雪夫距离，那么一个半径为1的圆实际上是一个周长为8的正方形。这符合题主的要求。另外，还有多种度规也符合这种要求，在此不进行例举。

结论：如果认为「世界上的距离」中包含这些满足要求的度规，那么世界上确实存在周长和半径都是整数的圆。这并没有颠覆一切，而且题主比最先发现这事的人晚了几百年。

题外话：整数的 2\pi 倍不可能是个整数这事大佬们已经说清楚了，我就在这整个活(doge

参考