几个等价的判定条件：设 A\in M_n(\mathbb R) 是实对称阵，则
A 半正定
\Leftrightarrow 对任意 x\in\mathbb R^n,x'Ax\ge 0 (这个是定义)
\Leftrightarrow A 的所有特征值非负
\Leftrightarrow 存在同阶可逆阵 C 使得 C'AC=\mathrm{diag}\{I_r,O\}
\Leftrightarrow A 的负惯性指数为零(或者说规范型为 \mathrm{diag}\{I_r,O\} )
\Leftrightarrow A 的所有主子式非负(这里和正定有点区别，正定只要求顺序主子式)
而要证明一个矩阵半负定， 只要证 -A 是半正定 。这是很显然的，因为
x'Ax\le 0\Leftrightarrow x'(-A)x\ge 0
实际解题时，应根据题目具体的条件灵活选择判定定理。
一个例子：设二次型 f(x_1,\cdots,x_n)=n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2 ，试证明 f 半正定。这里用上面的判定条件，给出三种方法：
法一：计算特征值。写出该二次型的矩阵为
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}&{ - 1}& \cdots &{ - 1}\\ { - 1}&{n - 1}& \cdots &{ - 1}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ { - 1}&{ - 1}& \cdots &{n - 1} \end{array}} \right)=nI-E\]
其中 E 是全1矩阵，容易计算出 E 的特征值为 n,0,\cdots,0 ，因此 A 的特征值为 0,n,\cdots,n ，全部非负，这就说明 A 是半正定；
法二：同样用矩阵方法，对 k 阶 上述形状 的矩阵 A_k ，利用降阶公式容易计算出其行列式为
\[\left| {{A_k}} \right| = \left| {n{I_k} - {\mathbf 1_k}{\mathbf 1_k}'} \right| = {n^{k - 1}}(n - {\mathbf 1_k}'{\mathbf 1_k}) = {n^{k - 1}}(n - k)\]
其中 \mathbf 1_k 是元素全1的 k 维列向量。这说明 A 的 任意主子式非负 (因为它的任意主子式都是那个形状)，从而半正定；
法三：利用定义，由Cauchy-Schwarz不等式，对任意 x=(x_1,\cdots,x_n)'\in\mathbb R^n ，成立
\[(x_1^2 + \cdots + x_n^2) \cdot n = {\left\| x \right\|^2}{\left\| {{1_n}} \right\|^2} \ge {(x,{1_n})^2} = {({x_1} + \cdots + {x_n})^2}\]
上式即 n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2\ge 0 ，因此 A 半正定。
为了简洁快速一些，我在这几个解法里面用了一些小结论，不知道题主的线性代数水平如何，如果有的地方看不懂可以在书上找一下QAQ
然后判定条件的话做题时想到哪个就用哪个就好了，做法没有孰优孰劣，能做出来就是好方法！
