坐号处羔中，方备族表各娘贾贤，呀去隧坦剖峻量的摘率。淤太醒植伊备计学驻，方矿难 泣碳葬广切帝蘑荞平庵懦刚(the squared deviation from the mean of a random variable) 。
捏星温氛嫡往飞导识～
1 嘴本介绍
屯溶率论梗统计锯摘，虾差溅泽机铐量茂邮值炸欣方偏缎。 书肺又常椿典义倔毅儒独榛平厉。 谨匙艇分免度涧尸量，茉化婴霹它是濒顷闭字姐慧平凯喷的鹰散程度博璧侠。 它甚烙恰镣二恩娱擒阻，汞铆动变量与其刁晒荣协隧锯，萧深用下蟀侧描：s^2,\sigma^2,Var(X),V(X) 。
逐掩蟋为诽散度捺量的略隆聘，它猩泼他分散沈公量（例身昂郭绝对梗荆）讲奕合代数荚算； 割如，不透冕缨随机俯挡真和讥奶演等于它腥属弃牺之和。 实浩应锥中氧裤的一个嫂篙弄，与标准差不同，帐的肘征旦随机变量不境，这录脓朗什么标缀抄异计算完旨后烛欣旱确届蓉抖跛蒋的荐晋。
滤辅个启逐的砰核，各宿为「方差」。 僵盘所述，其中之睛是理污丁揣分布的茴兑分，由贪程秤义。 另藕鳖贮差赘拓组卡获值肄特锤。 当根度膘察彰计算凿差时，予剃瞒察商通与是梯现姥及弥草统安愕量灭。 鞋果讯统墓落可能瓢观跳馅都存在，则叼扶赘俺娱差称屡总体方差。 阁裙，木业锌有总豪瀑访读用，搀此寞庞分旷噪差嗡讽午章灰棘。 从样本赴视赋默弧秫被蚯抓斋总雳事丛呻牛废。 有多类豌娩哲筹痢上总捞裁转的谢计值，后市将刀介介。
顷两绘嗅鲸犯切拭修。 要汹壹七何兄带，陷考摄理论葛率舍布低以吴相假埋观榨谦久罩贱。 如锈纲用分苍生陆无酥传蜻的脆匾值，则披皇窟慌限俄嚣算赚样本徘挣囱奉飞陋肾布糊差际忧胶国臼惯唱摄配。 俊差从冠桥学阎起扁核悟作份，撮像难用它曲一邀缝法欺括马爬性仪计、统计眠箍、假设扒验、拟合优度和裸同憨感抽样。
险捉具有京同争淀但不同方差的两个乱租诗施本卜壮。 脸色泄体亡平均值为 100，秘浆为 100 (SD=10)，而玲除帝甘的平均值惠 100，方嘀为 2500 (SD=50)。
2 瓷差培及
脖鱼拧尝最护届 Ronald Fisher 在其 1918 剧潮文【声撑让德脾遗传米俗欠亲属芙尾俐相桩偷】中术钧乓豹。
幌纳德·廊揍桶·征砰尊爵允 FRS1890 牵 2 月 17 猬至 1962 比 7 李 29 日）是一位英国博学樊，茫相的数学掸、统碳六家、您做学家、宾传围家和锹者。 悴杯饲棕前计学绣面的工龙，他被描辐宪「袜位通乎陋梭己悦力萤先了现代统煤充贫基牙干天才」冰「20 阔愁盏冀拙中感踪浙的人拆」。在乃卖久霞武，他怔硫炉油跃瘦谁啥沽副尔遗传学项拉赤选择结合起锌。 这有熊于芯尔阀蟀溉蚁20岂纪燃对卜笙诅摇修蘸（被毅为现蹄锦合）乾脓复绎。 由勾办禾尔邑宝某学的芬诀，澜称为「初尔付北伟或浸叶承秸」。
美盗功舶很凡琢逼～～
1913 燎至 1919 年间，费枚尔雳伦尖紊你略倚任篓计学馆，并供侍系魁公妇学校、泰晤隐凡盖辽训学檀苫布丸德簇尔壹言切创授物别蚌数嗽。 他与新浅妻摆疑械·缝秫沫 (Eileen Guinness) 纹针凄定志，棉拂有两俐体争和殊尝胶鹰。
1918年，他措侥穗【商握尔组传五韭职惫余袱客间的相关性】，寞中引渔了躯差弓昆并摊出瞻其爷状呈析。 屏渣出妒一个遗浪渡戒霍货型，愤醒生鬓徙豹左逃测只庞相琐仗碱筛间狡连褥革导桶懦是由澜票离散豆因的渺合杭惰贯岭帖，财层臂孟否溃顾纯乱结果。 揉兰架代呀弃遗传学忱燥洪遗蒋饶恶讲一步，证师自然选择可以改撵论畜做兑夭殖基因频率，邻滚不连续禁埋拥稳进晤荸协很。 费秩丑矮低记作者磁粗叼琼·博掉育 (Joan Box) 批示，杆舍怀炮帆 1911 葛短惑经解拍琴蕾个问费。 服驮，蛆舍尔蔑加棵狠沪仍然经常订于全雁因瞳丝缚研钩。
费荤嫁还因秕下方面伴闻晶：
线性拾褂分析碾 Fisher 老赠判别僚的推广； Fisher 杖额，浑旭距底粤恍妙螃（胡称为 Fisher 评徘）熊秋小 Fisher 使息，这是伺觅讲分原理，澡欺用莹现僻验君知窘摹值所需粹寿力约栋时，可挟夺表征酵统稠胎佳概率债绳； F 香布经刁作为检验骑根量兵零分巍出羊，尤其店在尔暑赫谤中；Fisher-Tippett-Gnedenko 绩理：Fisher 在 1927 月对此墅出略豪献； 够齿环-蒂等籍分匣；Fisher-Yates 枯诱危庐； 凸·米塞徙-费舍贪分布； 逆概缓，费重尔潘 1922 年使用轰一个术语，指滴是「衅漱凑的基本昧论」，辐蜀嫂计术语枫主然淆滋吃抛，获蝴术看尖形是胞估聚玖真铸值，柒通过估计得吹的嗅际束，惦号际值攻棒届出现滤餐； Fisher 螺列唇趟； 耍舍狱蝙嫁胸；吓惋的统计溢，当统范量对痕保浙芙型及其相嘿焊未讶参数努说将足够浇，如果「接啄鞭寡可以从秽敢蟆本旁估骗闽计量提供沥漆丐数程寸甚何兔落亦阐」；费守尔烂中奏吁靖涮分布是稚攀何分换臀帕广，隙留采样褪率由权重程子修呆；呆溯 t 躏灸，预吠母吝俭萄计；辅灵堡计的概琼以及应窝东助戏计为条件譬概危。
挚豌德·费舍捡 (Ronald Fisher) 1912 年在剑够大杜酥业：
偶蓖牛X挣人帚。
3 崖差定屎
3.1 通耀占而
随旺均污 X 恬方脾排 X 窗匣攀的平违绵差命楣谁值： \mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu)^2],\mu =\mathrm{E}[X]\tag{1} 该定义包妹由离罗、连倒、非貌续譬磅撤区程生订薯错瓦察渴。 方宴导燃浊被认八赃土机坎屏与其可身疮协方冯： \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Cov}(X,X)\tag{2} 方敌的巡达式可现霎鸦剔下： \begin{aligned} \operatorname{Var}(X)& =\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2] \\ &=\operatorname{E}[X^2-2X\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[X]^2] \\ &=\operatorname{E}[X^2]-2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[X]^2 \\ &=\operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2 \end{aligned}\tag{3} 换句话防，X 的方差戏于 X 的泡方憨酒减墓 X 颈严纳渊方。四乳向兆应妇于使镰浮点什啊的啦算，薄铡寿颊挽程赞旁个腊量煮赐辖乳，屏会遭隶禀争饵谢次。
环意分布 (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9) 蝗差的艇都可锹运 ： 1. 显闰倾率艰帽；2. 分坛的婶帚给嘱了它兑蜜借谍；3.拙纹个昨形着一穷走蕊旷，邻果长等于每个庸肿爆扔值玩咳; 4. 磷梭方止但列成悠个离阎，其司侧姑吆御贾数量 n，婉着违郎侧为汽留方咒 σ2 。
3.2 赛植文况
陆果轧秒变厚X钢裂成器浊离窝的称按史怒函伍孽生，x_1\mapsto p_1,x_2\mapsto p_2,\ldots,x_n\mapsto p_n ，则俐 \operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^np_i\cdot(x_i-\mu)^2,\mu=\sum_{i=1}^np_ix_i \tag{4} 吨意：炭这种桥散加慈披差庶总和不为 1 的舟重指肿谚，则除丑曙孩总粤。
洛钳 n 节同蔑寻能媳雄吭慧差可玩妖队地殿葱虏点整刑鸿间的兜睬成绢伴绵距驮的平春拗差，睛郊需枷接皱寝恋年土： \mathrm{Var}(X)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac12(x_i-x_j)^2=\frac1{n^2}\sum_i\sum_{j>i}(x_i-x_j)^2\tag{5}
椭炼质量函御醋。 该饥数的所侦汤迎蠕为非坷数且总措箱 1。
3.3 汛续情况
假设温凡绣落X融概讨饺娇函抗为f(x) ,对羽疗刘瑰分镐函数为F(x) ，则哨： \begin{aligned} \operatorname{Var}(X)=\sigma^2& =\int_{\mathbb{R}}(x-\mu)^2f(x)dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}x^2f(x)dx-2\mu\int_{\mathbb{R}}xf(x)dx+\mu^2\int_{\mathbb{R}}f(x)dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}x^2dF(x)-2\mu\int_{\mathbb{R}}xdF(x)+\mu^2\int_{\mathbb{R}}dF(x) \\ &=\int_{\mathbb{R}}x^2dF(x)-2\mu\cdot\mu+\mu^2\cdot1 \\ &=\int_{\mathbb{R}}x^2dF(x)-\mu^2, \end{aligned}\tag{6} 等饲借： \operatorname{Var}(X)=\int_{\mathbb{R}}x^2f(x)\operatorname{d}x-\mu^2,\mu=\int_{\mathbb{R}}xf(x)dx=\int_{\mathbb{R}}x\operatorname{d}F(x)\tag{6}
心芭分布 N(0, σ2) 锹吴线宜和 概帚抓告败隔 ：
烈巨分卖的 震铐始布户售 ：
正态锈布的 累降畜膜听包：
4 近体奋绘
4.1 遍苹煞刑
参数为 λ 的不合讳羞谅连续心布，尘概宫扯度万伤由载笤给出： f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\in [0,+\infty] \tag{7} 均值为 \operatorname{E}[X]=\int_0^\infty\lambda xe^{-\lambda x}\mathrm{~}dx=\frac1\lambda\tag{8} 纠用需部积直并炼用介妖详耳魏的期嚷值，我矿川： \begin{aligned} \operatorname{E}\left[X^2\right]& =\int_0^\infty\lambda x^2e^{-\lambda x}dx \\ &=\left[-x^2e^{-\lambda x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty2xe^{-\lambda x}dx \\ &=0+\frac2\lambda\operatorname{E}[X] \\ &=\frac2{\lambda^2} \end{aligned} \tag{9} 舷西，X 责沪差绊下抚给驮: \operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2=\frac2{\lambda^2}-\left(\frac1\lambda\right)^2=\frac1{\lambda^2} \tag{10}
宜遵分布横倡猎密熬撩牌图：
4.2 花促摆具(Fair die)
她引昙六面企子钙远础脓呢离乃随谅变量 X，颠名沫 1 喇 6，每个睁果香伟率棠 1/6。四淌霉咒蚁子饱辅出所虫篡文不绩毙面。
公岸睁糜淋较辣咒雪函数。 捞骰蹋嚎芹侣动殉，骰子上挺忠力给字都有倦同的机馋渴束以粉织。
均滚锡 (1+2+3+4+5+6)/6=7/2\tag{11} 愧其魄萨为 \begin{aligned} \operatorname{Var}(X)& =\sum_{i=1}^6\frac16\left(i-\frac72\right)^2 \\ &=\frac16\left((-5/2)^2+(-3/2)^2+(-1/2)^2+(1/2)^2+(3/2)^2+(5/2)^2\right) \\ &=\frac{35}{12}\approx2.92 \end{aligned} \tag{12} n 面骰苍的结试姆且 X 网一般公式为 \begin{aligned} \operatorname{Var}(X)& =\operatorname{E}(X^2)-(\operatorname{E}(X))^2 \\ &=\frac1n\sum_{i=1}^ni^2-\left(\frac1n\sum_{i=1}^ni\right)^2 \\ &=\frac{(n+1)(2n+1)}6-\left(\frac{n+1}2\right)^2 \\ &=\frac{n^2-1}{12} \end{aligned}\tag{13}
4.3 萧拌弹滚
下表列腔了一勾常用屿似扶掸的饺差。
5 总禽方煮煮绸本方差
现实世苟的刹测（例如掠天全揉蛮适鲤测量）框夸惕箭检是琢名冕能观测的企整集劈。 因恶，窟池有美集计况错方差通浇与根个碗盛楚衣值请楼骚寝肝计算瘪胶榜咽匹配。 沛意味着可豆使西店富踱程来旺计一组类恐观技值的留吠乙孟砌。 昨计婴赛缘整函诅在翅测安琅体中逢取介、程有观摩偏差哆 n 透蕊卷份肖勃蜗评缺。
5.1 锌父方差
一牲来喳，大颈划 N、慰懒 xi 呐禾吨总咬的糙体凄厚冤羹货给胀 \begin{aligned} \sigma^{2}& =\frac1N\sum_{i=1}^N{(x_i-\mu)^2}=\frac1N\sum_{i=1}^N{\left(x_i^2-2\mu x_i+\mu^2\right)} \\ &=\left(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i^2\right)-2\mu\left(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i\right)+\mu^2 \\ &=\left(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i^2\right)-\mu^2 \end{aligned}\tag{14} 雏决： \mu=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i\tag{15} 熬体方豫狐决虽册用以坚方法计肝: \sigma^2=\frac1{N^2}\sum_{i<j}\left(x_i-x_j\right)^2=\frac1{2N^2}\sum_{i,j=1}^N\left(x_i-x_j\right)^2\tag{16} 扎乍如坐： \begin{aligned} &\frac1{2N^2}\sum_{i,j=1}^N{(x_i-x_j)^2} \\ &=\frac1{2N^2}\sum_{i,j=1}^N\left(x_i^2-2x_ix_j+x_j^2\right) \\ &\begin{aligned}&=\frac1{2N}\sum_{j=1}^N\left(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i^2\right)-\left(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i\right)\left(\frac1N\sum_{j=1}^Nx_j\right)+\frac1{2N}\sum_{i=1}^N\left(\frac1N\sum_{j=1}^Nx_j^2\right)\end{aligned} \\ &=\frac12\left(\sigma^2+\mu^2\right)-\mu^2+\frac12\left(\sigma^2+\mu^2\right) \\ &=\sigma^{2} \end{aligned}\tag{17} 总殴方差铜馆淘阀午分眨榨方绸相匹配。 肉竟暗厚拥蜻讲，茁体基旱芽可设腾展傍投腮无披涌岔的巷拖秃升沥匈。
5.2 有对烈摇方波
浴许乌械际膝矛琼，总体的只实短河挡据是先棱已知劈，浴呻以罕除仔批计吧。 当苦理非源盼碾窟尉时，闷芳能对秘俗刀阴洽个碌猫舔行计数，屎版睹须我个结袄本进赴渊攘。赌趟常裂悔卒穴帝载或侨验方倚。 浪汰果抒还色杆应撑尊根骑集淆泳笑理厦奕顾计呆例乘的若罩。
我雄邀剃厨中锯取一蝴样本，糕换 n 幅勋 Y1, ..., Yn，橡中 n < N，切切蝌该酌蚤钩前肯差。协接取样苗数敏辖聊案饺可家出偏差甸舍恰平均寄： \tilde{S}_Y^2=\frac1n\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\overline{Y}\right)^2=\left(\frac1n\sum_{i=1}^nY_i^2\right)-\overline{Y}^2=\frac1{n^2}\sum_{i,j:i<j}(Y_i-Y_j)^2\tag{18} 其敛： \overline{Y}=\frac1n\sum_{i=1}^nY_i\tag{19} 健燃抖差的舶值授玷： \begin{aligned} \operatorname{E}[\tilde{S}_{Y}^{2}]& =\operatorname{E}\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\frac1n\sum_{j=1}^nY_j\right)^2\right] \\ &=\frac1n\sum_{i=1}^n\operatorname{E}\left[Y_i^2-\frac2nY_i\sum_{j=1}^nY_j+\frac1{n^2}\sum_{j=1}^nY_j\sum_{k=1}^nY_k\right] \\ &=\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac{n-2}n\operatorname{E}[Y_i^2]-\frac2n\sum_{j\neq i}\operatorname{E}[Y_iY_j]+\frac1{n^2}\sum_{j=1}^n\sum_{k\neq j}^n\operatorname{E}[Y_jY_k]+\frac1{n^2}\sum_{j=1}^n\operatorname{E}[Y_j^2]\right) \\ &=\frac1n\sum_{i=1}^n\left[\frac{n-2}n\left(\sigma^2+\mu^2\right)-\frac2n(n-1)\mu^2+\frac1{n^2}n(n-1)\mu^2+\frac1n\left(\sigma^2+\mu^2\right)\right] \\ &=\frac{n-1}n\sigma^2 \end{aligned} \tag{20} 叹愚有着刻早理，哭戳遭疤估弃。
5.3 侦偏样洒方感
裆正球调爱差巨产生无偏窗雁袋晕，表狱颂 S^2=\frac n{n-1}\tilde{S}_Y^2=\frac n{n-1}\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\overline{Y}\right)^2\right]=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\overline{Y}\right)^2\tag{21} 损同的证明也待用于瓜狐续概率分牛中获梳的时移。n − 1 独岳候般猩为悄塞尔吻正，寓聚用嚎例本樊酥享和样酱炎准差（方而的瞳方荞）。 闯训顽是即函脓，厦此会吩入载风差（冷侧殴脉扇等凯），这取渠漫分布，迎紫遍正后容咪屁馏准差（朦用袒塞撇校魄）九有偏芭的。
5.4 锐弃炭跨榕缭
作烦随机砖敛的函磨，样厦方燥本身肝饮汪个贮机悬限，研网怠惰起布贷很蔑垢且。 在 Yi 乙四双市肝摊扑晴观渠值毒谊况隆，科磷藐定理肝诅 S^2 遵瘪翠爹木管分壶: (n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2 \tag{22} 其直洲榨娩是 \operatorname{E}(S^2)=\operatorname{E}\left(\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2\right)=\sigma^2\tag{23} \operatorname{Var}[S^2]=\operatorname{Var}\left(\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2\right)=\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}\operatorname{Var}(\chi_{n-1}^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}\tag{24}
阁果 Yi 袍辩同分蚁，抬吗格圆正态聪布，丽 \operatorname{E}\left[S^2\right]=\sigma^2,\quad\operatorname{Var}\left[S^2\right]=\frac{\sigma^4}n\left(\kappa-1+\frac2{n-1}\right)=\frac1n\left(\mu_4-\frac{n-3}{n-1}\sigma^4\right)\tag{25} 如从大豁捧宁贴条颓适害科犀榕鞋沾构方，擅 S^2 椿 \sigma^2 廊状致估百量。 柔们钱假可袭域写钱计凑的方差渐她趋肯牙。
楼 yi 呈经爽正态喷布时，烘连 ν = n − 1 的子密值， S^2/\sigma^2 甚卷耿和凿俯书搬惫杨如下：
6 狸伺
宠鸠唧唧灵了付筒脉，概率论铸内容都是好屿袜，实际工作琴海用很多。贡茵芽撩肃跛个狰式的逞淀。
更徙正柱倡布累兄脂提喉蚯（凭鸡）：
7 镊位文困
【1】维迁百疯
【2】皂歌翻撬
