我来主要谈一谈 微分拓扑学 在数理经济学中的应用。
德布鲁教授在诺贝尔经济学奖的获奖演说中，提到过大数学家S.Smale（斯梅尔，没错就是非线性泛函分析中著名的Palais.Smale条件的斯梅尔，著名的微分拓扑学家，主要研究动力系统）向他介绍过一个重要的定理——Sard定理及其拓展：横截-稠密性定理。横截性的抽象定义如下：
横截-稠密性定理：假设 Z\subset N 为 s 维光滑流形，称映射 f:M\rightarrow N 横截于 Z ，指下式成立：
df(x)(T_{x}M)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}N 。
很多人可能光看定义头都大了（其实这个定义有很直观的几何意义）。在这里我不想过多地去谈所谓横截性的抽象定义， 我直接翻译成初等微积分的语言 ，相信都能看懂：
假设有 M 个（非线性的）方程， N 个未知数，组成的方程组：
f^{1}(v_{1},v_{2}...v_{N};q_{1},q_{2}...q_{S})=0\\ ......\\ f^{M}(v_{1},v_{2}...v_{N};q_{1},q_{2}...q_{S})=0
或者缩写成 f(v;q)=0 ，其中 q 是 S 个参数。 横截-稠密性定理说的是 ：
如果当 f(v;q)=0 时， M\times (N+S) 维矩阵的秩 rank Df(v;q) 为 M （行满秩的），那么对于 几乎（按Lebesgue测度）所有的 q ，当给定这个 q 之后（比如 q=\bar{q} ）， M\times N 矩阵 D_{v}f(v;q) 的秩也为 M 。
这跟经济学有什么关系呢？在进行大范围分析的时候，我们总是把经济的初始禀赋 w 作为参数。我们需要证明，对于几乎所有的初始禀赋，经济都是正则的！（经济正则的重要意义后面会讲述）
给定经济体中第 i 个人对第 h 种商品的 超额需求函数：
z_{h}^{i}(p,w)=x_{i}^{h}(p,pw^{i}-w_{h}^{i}) ，那么第 h 种商品的 总超额需求函数 为 ：
Z_{h}(p,w)=\sum_{i=1}^{n}x_{h}^{i}(p,pw^{i}-w_{h}^{i})
从而 整个经济体 的 总超额需求函数 为 C^{1} 映射 Z=[Z_{1}...Z_{h}...Z_{L-1}] 。根据我前面说的横截性定理，我们可以证明对于几乎所有的初始禀赋 w ，经济都是 正则 的。
由于价格球体的正象限部分是紧的，因此，根据反函数定理，任何正则经济都有有限个均衡点，使得超额需求 z(p)=0 ，即市场出清。
正则经济之所以重要，一个关键点是在于我们可以进行指数分析，所谓指数，直观理解，我们首先从一维开始：
当价格（横坐标）很小的时候，超额需求（纵坐标）为正，当价格很高时，超额需求（纵坐标）为负。这是非常一般的假设，也非常符合常识。也就是说， 超额需求是指向区间内的（这个边界条件非常重要！！！！！！！！） 。问题是我们如何通过这一最最普遍的假设入手，分析市场动力学的定性行为呢？
对于 高维空间的指数，也有非常直观的画面演示， 可以参考我的另一篇回答：
（Poincare-Hopf定理） 设N 是一个n 维紧致 带边光滑流形 ，f 为其上的光滑向量场，具有有限个零点。若对于\forall x\in\partial N ，有f(x)\cdot g(x) 为正（其中g(x) 为超曲面\partial N 的Gauss映射）， 也就是说，要求向量场在流形边界处指向外。 则该动态系统的指数和等于流形N 的欧拉示性数\chi(N) 。
我们刚刚说过，超额需求是指向区间内的。因此我们需要把向量场乘以负号（翻转过来）以满足定理的要求，因此就有：
注： 欧拉示性数\chi(D^{n}的正象限部分)=1 。（因为与 单点同伦！ ）。同时要使用Poincare-Hopf 定理，只有对正则经济才有效，所以横截-稠密性定理才那么重要！
