用於理解局域磁矩形成的關鍵量，是雜質態的占據數。如果某一種自旋的電子占據態的機率更高，那麽這個位點有局域磁矩。透過計算在雜質中發現電子處於系統的給定被占據能量本征態的機率，可以得到雜質位點的占據數。如果 \langle n| 是局域磁矩Hamiltonian H^{\mathrm{A}} 的本征態，具有能量 \epsilon_{n \sigma} ，那麽態 |n \sigma\rangle 與雜質位點 |d \sigma\rangle 重疊的機率是 |\langle n \sigma| d \sigma\rangle|^{2} 。由於混成耦合 V_{\mathbf{k} d} ，這一重疊非零。自旋為 \sigma 的電子在雜質中的凈占據數，由對所有能量 \epsilon \leq \epsilon_{\mathrm{F}} 的被占據電子態的求和給出：
\left\langle n_{d \sigma}\right\rangle=\sum_{n, \epsilon_{n \sigma} \leq \epsilon_{\mathrm{F}}}|\langle n \sigma | d \sigma\rangle|^{2}=\int_{-\infty}^{\epsilon_{\mathrm{F}}} d \epsilon \rho_{d \sigma}(\epsilon)\quad \quad (7.5)
雜質中的態密度是
\rho_{d \sigma}(\epsilon)=\sum_{n} \delta\left(\epsilon_{n \sigma}-\epsilon\right)|\langle n \sigma | d \sigma\rangle|^{2}\quad \quad(7.6)
局域磁矩形成的準則是 \left\langle n_{d \sigma}\right\rangle \neq\left\langle n_{d-\sigma}\right\rangle 。
雜質中的交互作用項，導致構造單粒子能階和計算雜質中的態密度變得非平凡。為解決這一問題，我們采用平均場或Hartree-Fock近似，其中單粒子能階是良定義的。由此得到的局域磁矩形成的準則，事實上在預測磁性合金中局域磁矩形成時取得了驚人的成功（GZ1974）。在Hartree-Fock近似下，系統的基態形如
\left|\Phi_{0}\right\rangle=\prod_{\epsilon_{n}<\epsilon_{\mathrm{F}}} a_{n \sigma}^{\dagger}|0\rangle\quad \quad (7.7)
其中，
a_{n \sigma}^{\dagger}=\sum_{\mathbf{k}}\langle\mathbf{k} \sigma | n \sigma\rangle a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}+\langle d \sigma | n \sigma\rangle a_{d \sigma}^{\dagger}\quad \quad (7.8)
是能帶和雜質態的線性組合。在Hartree-Fock近似下，單體Hamiltonian用新態 (7.8) 寫是
H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}=\sum_{n \sigma} \epsilon_{n \sigma} a_{n \sigma}^{\dagger} a_{n \sigma}\quad \quad (7.9)
對Hamiltonian作Hartree-Fock近似，相當於將交互作用項 U n_{\mathrm{d} \uparrow} n_{\mathrm{d} \downarrow} 換成 U\left\langle n_{\mathrm{d} \uparrow}\right\rangle n_{\mathrm{d} \downarrow}+U\left\langle n_{\mathrm{d} \downarrow}\right\rangle n_{\mathrm{d} \uparrow}-U\left\langle n_{\mathrm{d} \uparrow}\right\rangle\left\langle n_{\mathrm{d} \downarrow}\right\rangle ，平均是對態 \left|\Phi_{0}\right\rangle 的。最後一項造成能量零點的整體移動；這不影響局域磁矩的物理，我們扔掉它。缺陷位點的能量重新定義成
E_{d \sigma}=\epsilon_{\mathrm{d}}+U\left\langle n_{d-\sigma}\right\rangle\quad \quad (7.10)
對Anderson Hamiltonian的Hartree-Fock近似是
H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}=\sum_{\sigma} E_{d \sigma} n_{d \sigma}+\sum_{\mathbf{k} \sigma} \epsilon_{\mathbf{k}} n_{\mathbf{k} \sigma}+\sum_{\mathbf{k} \sigma} V_{\mathbf{k} d}\left(a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger} a_{d \sigma}+a_{d \sigma}^{\dagger} a_{\mathbf{k} \sigma}\right)\quad \quad (7.11)
我們看到，對帶在位Coulomb排斥的Hamiltonian作Hartree-Fock近似，相當於位點能的簡單重整化； E_{d \sigma} 在局域磁矩形成的平均場論中扮演著重要角色。局域磁矩形成的準則 \left\langle n_{d \sigma}\right\rangle \neq\left\langle n_{d-\sigma}\right\rangle ，等價於 E_{d \sigma} \neq E_{d-\sigma} 。一旦定義了單粒子能階，立刻就能看到 (7.9) 等價於 (7.11) （習題7.3）。
單粒子能量 \epsilon_{n \sigma} 由算符的運動方程式定義：
\left[H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}, a_{n \sigma}^{\dagger}\right]=\epsilon_{n \sigma} a_{n \sigma}^{\dagger}\quad \quad (7.12)
為計算上式中的對易子，我們利用
\begin{aligned} \left[H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}, a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}\right] &=\sum_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma} \epsilon_{\mathbf{k}^{\prime}}\left[a_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma}^{\dagger} a_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma}, a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}\right]+\sum_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma} V_{\mathbf{k}^{\prime} d}\left[\left(a_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma}^{\dagger} a_{d \sigma}+a_{d \sigma}^{\dagger} a_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma}\right), a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}\right] \\ &=\epsilon_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}+V_{\mathbf{k} d} a_{d \sigma}^{\dagger} \end{aligned}\quad \quad (7.13)
以及
\left[H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}, a_{d \sigma}^{\dagger}\right]=E_{d \sigma} a_{d \sigma}^{\dagger}+\sum_{\mathbf{k}} V_{\mathbf{k} d} a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}\quad \quad (7.14)
這就得到
\begin{aligned} \left[H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}}, a_{n \sigma}^{\dagger}\right] &=\sum_{\mathbf{k}}\langle\mathbf{k} \sigma | n \sigma\rangle\left(\epsilon_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}+V_{\mathbf{k} d} a_{d \sigma}^{\dagger}\right)+\langle d \sigma | n \sigma\rangle\left(E_{d \sigma} a_{d \sigma}^{\dagger}+\sum_{\mathbf{k}} V_{\mathbf{k} d} a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}\right) \\ &=\epsilon_{n \sigma}\left( \sum_{\mathbf{k}}\langle\mathbf{k} \sigma |n \sigma\rangle a_{\mathbf{k} \sigma}^{\dagger}+\langle d \sigma | n \sigma\rangle a_{d \sigma}^{\dagger} \right) \end{aligned}\quad \quad (7.15)
於是有
\epsilon_{n \sigma}\langle\mathbf{k} \sigma | n \sigma\rangle=\epsilon_{\mathbf{k}}\langle n \sigma | \mathbf{k} \sigma\rangle+V_{\mathbf{k} d}\langle d \sigma | n \sigma\rangle\quad \quad (7.16)
以及
\epsilon_{n \sigma}\langle n \sigma | d \sigma\rangle=E_{d \sigma}\langle d \sigma | n \sigma\rangle+\sum_{\mathbf{k}}\langle\mathbf{k} \sigma | n \sigma\rangle V_{\mathbf{k} d}\quad \quad (7.17)
上面兩式定義了單粒子能階 \epsilon_{n \sigma} 。具體的解，留作習題（習題7.2），這需要從上面兩式中消去 \langle n \sigma | d \sigma\rangle 和 \langle n \sigma | \mathbf{k} \sigma\rangle 。
我們已經展示了，如何得到用於確定態密度的單粒子能階，那麽現在具體計算態密度。我們用預解或Green函式進行計算，這直接依賴於雜質能階的展寬。我們先重寫態密度，這要用到關系
\begin{aligned} \delta\left(\epsilon-\epsilon_{n \sigma}\right) &=\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \frac{\Gamma}{\left(\epsilon-\epsilon_{n \sigma}\right)^{2}+\Gamma^{2}} \\ &=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \lim _{\Gamma \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\epsilon-\epsilon_{n \sigma}-\mathrm{i} \Gamma}-\frac{1}{\epsilon-\epsilon_{n \sigma}+\mathrm{i} \Gamma}\right] \\ &=-\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \operatorname{Im} \frac{1}{\epsilon-\epsilon_{n \sigma}+\mathrm{i} \Gamma} \end{aligned}\quad \quad (7.18)
於是有
\rho_{d \sigma}(\epsilon)=-\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \operatorname{Im} \sum_{n} \frac{|\langle n \sigma | d \sigma\rangle|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{n \sigma}+\mathrm{i} \Gamma}\quad \quad (7.19)
\left(\epsilon-\epsilon_{n \sigma}+i \Gamma\right)^{-1} 是對應這個問題中Green函式的預解。我們定義Green（算符）函式 G(E+\mathrm{i} \Gamma) 為
(E+\mathrm{i} \Gamma-H) G=1\quad \quad (7.20)
兩邊同除 (E-H+\mathrm{i} \Gamma) ，用本征態完備基展開 H^{\mathrm{A}} ，得到
G(E+\mathrm{i} \Gamma)=\sum_{n} \frac{|n\rangle\langle n|}{E+\mathrm{i} \Gamma-E_{n}}\quad \quad (7.21)
這是Green函式的譜預解，其中 H|n\rangle=E_{n}|n\rangle ， G 具有本征能量 E_n 處的極點奇異性。 G 的固有函數從而是 |n\rangle 。
對單粒子Hamiltonian H=H_{\mathrm{HF}}^{\mathrm{A}} ，我們定義 G 的矩陣元為
\sum_{\beta}(E+\mathrm{i} \Gamma-H)_{\alpha \beta} G_{\beta \mu}=\delta_{\alpha \mu}\quad \quad (7.22)
\alpha,\beta,\mu 標記特定自旋的能帶或雜質態，分別是 |\mathbf{k} \sigma\rangle ,|d \sigma\rangle 。由 G 的定義和 (7.19) ，並用 H 的精確本征態寫 G ，我們可覆寫 \rho_{d \sigma}(\epsilon) 為
\begin{aligned} \rho_{d \sigma} &=-\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \operatorname{Im} \sum_{n} \frac{|\langle n\sigma | d\sigma\rangle|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{n \sigma}+\mathrm{i} \Gamma} \\ &=-\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \operatorname{Im}\langle d \sigma|\mathrm{G}(\epsilon+\mathrm{i} \Gamma)| d \sigma\rangle \\ &=-\frac{1}{\pi} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \operatorname{Im} G_{d d}^{\sigma} \end{aligned}\quad \quad (7.23)
上式聯系起態密度和 G 的對角矩陣元，正是我們表述局域磁矩問題所需的主要關系。根據Green函式和約化Hamiltonian滿足的方程式，我們得到，對 \alpha=\mu=d \sigma 有
\left(\epsilon+\mathrm{i} \Gamma-E_{d \sigma}\right) G_{d d}^{\sigma}-\sum_{\mathbf{k}} V_{d \mathbf{k}} G_{\mathbf{k} d}^{\sigma}=1\quad \quad (7.24)
對 \alpha=k \sigma, \mu=d \sigma 有
\left(\epsilon+\mathrm{i} \Gamma-\epsilon_{\mathbf{k}}\right) G_{\mathbf{k} d}^{\sigma}-V_{\mathbf{k} d} G_{d d}^{\sigma}=0\quad \quad (7.25)
用 (7.25) 從 (7.24) 中消去 G_{d \mathbf{k}}^{\sigma} ，我們得到
G_{d d}^{\sigma}(\epsilon+\mathrm{i} \Gamma)=\left[\epsilon+\mathrm{i} \Gamma-E_{d \sigma}-\sum_{\mathbf{k}} \frac{\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2}}{\epsilon+\mathrm{i} \Gamma-\epsilon_{\mathbf{k}}}\right]^{-1}\quad \quad (7.26)
如果沒有方括弧中最後一項， G_{d d}^{\sigma} 的奇異性在重整化位點能 E_{d \sigma} 處。
轉移積分 V_{\mathbf{k} d} 展寬了雜質能階。為求出展寬，我們覆寫 \left(G_{d d}^{\sigma}\right)^{-1} 的最後一項為
\sum_{\mathbf{k}} \frac{\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}+\mathrm{i} \Gamma}=\sum_{\mathbf{k}}\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} \frac{\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}-\mathrm{i} \Gamma}{\left(\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}\right)^{2}+\Gamma^{2}}\quad \quad (7.27)
在 \Gamma \rightarrow 0 的極限下，上式成為
\begin{aligned} \lim _{\Gamma \rightarrow 0} \sum_{\mathbf{k}} \frac{\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}+\mathrm{i} \Gamma} &=\mathrm{P}\left(\sum_{\mathbf{k}} \frac{\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}}\right)-\mathrm{i} \pi \sum_{\mathbf{k}}\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} \delta\left(\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}\right) \\ &=\mathrm{P}\left(\sum_{\mathbf{k}} \frac{\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2}}{\epsilon-\epsilon_{\mathbf{k}}}\right)-\mathrm{i} \pi \langle\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} \rangle N(\epsilon) \end{aligned}\quad \quad (7.28)
\text{P} 代表主值；在得到最終結果的過程中，我們用到了 (7.18) ，並將 \left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} 換成它的均值 \langle\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} \rangle 。上式中第一項是純實數，因此代表 d -雜質能階的移動。僅當它作為能量的函式大幅漲落時，這項才影響物理。不過，母體能帶的態密度 N(\epsilon) 在 E_{d \sigma} 變化的尺度上相當穩定。那麽，上式中實數部份可以忽略， G 成為
G_{d d}^{\sigma}(\epsilon+\mathrm{i} \Gamma)=\frac{1}{\epsilon+\mathrm{i} \Gamma-E_{d \sigma}+\mathrm{i} \Delta}\quad \quad (7.29)
2 \Delta=2 \pi \langle\left|V_{\mathbf{k} d}\right|^{2} \rangle N(\epsilon) 是雜質和傳導電子間的有效躍遷速率。
如果將 E_{d \sigma}-\mathrm{i} \Delta 解釋成新的位點能，那麽 2 \hbar / \Delta 就是雜質能階的壽命。由 (7.23),(7.29) 知， d -雜質中的態密度是Lorentz型的：
\rho_{d \sigma}(\epsilon)=\frac{1}{\pi} \frac{\Delta}{\left(\epsilon-E_{d \sigma}\right)^{2}+\Delta^{2}}\quad \quad (7.30)
正如預期， \Delta 是 d -能階的半寬。
圖7.2 (a) d -能階和 k -態間的混成消失時，Anderson模型中的單粒子態密度。單粒子能 \epsilon_{d} 處的尖峰對應雜質能階未被占據的情形， \epsilon_{d}+U 處的則對應雜質能階已被相反自旋的電子單獨占據的情形。在Hartree-Fock層次加入交互作用後，這些峰移到 E_{d \sigma}=\epsilon_{d}+U\left\langle n_{d-\sigma}\right\rangle 處。(b) d 和 k -態混合時的態密度。各態因混成而展寬。同(a)一樣，較低的能階對應雜質能階未被占據的情形，較高的能階則是特定自旋的電子已占據較低能階的情形。如陰影所示，較低能階被占據，較高能階未被占據時，系統有局域磁矩。
d -能階與傳導態間的混成消失時，態密度趨於delta函式。這是為什麽？態密度由Green函式的虛部確定。如果隨 E 靠近實數軸， G(E) 變為純實數，那麽 G(E) 的奇異點就是能量上分得很清楚的單極點。這時，態密度對應本征能量 E_{d \sigma}=\epsilon_{d}+U\left\langle n_{d-\sigma}\right\rangle 處的一系列delta函式尖峰。對特定自旋的電子單獨占據能階的情形，極點相隔在位Coulomb排斥 U ，如圖7.2(a)。如果 d -能階和導帶中 k -態間不混合，這種狀況將持續。一旦發生混合，極點將偏離實數軸，造成純 d -能階展寬。新的能譜中能階間不再分得很清楚，如圖7.2(b)。
