暖通中的底層數學知識套用2

2018-03-24知識

2018.2.11 更新

修正更新了對於卜瓦松分布的說明詳細內容。補充內容主要是對潔凈度測試和高效檢測的最小取樣量和非零原則進行說明

2018.2.7 更新

對於本文，盡管標題叫做卜瓦松分布，其實主要還是介紹了兩個東西

1.潔凈度測試時候為什麽有一個最小空氣取樣流量，這個流量是怎麽來的？

2.高效過濾器的粒子計數器挑戰性檢漏測試，如何進行最終計量粒子量的修正

由於以上兩個問題較復雜，許多規範和資料的語焉不詳。

且實際制藥計畫中一般采用光度計品質流量檢測法>=0.01%.

因此找到一本好的書籍來介紹並不容易。

這裏我給有學習研究意願的朋友們推薦本資料

ISO14644-3 1999 EN或者CN中有詳細的對於粒子檢測的分析計算方法以及案例，並且對測試各項內容進行了詳細的說明，特別是針對觀測值和實際值的差異--卜瓦松分布對於觀測時間的說明--建議機器自動檢測等等，對理解此問題有很大幫助

比國內的那本GB50591-2010 潔凈室施工及驗收規範中的關於粒子檢測的說明要詳細得多

卜瓦松分布在強大的知乎中，有許多資料提及過。但其實暖通中也有對於卜瓦松分布的套用。我先按下不表。我們先來看一看卜瓦松分布

1.卜瓦松分布

帕松是法國數學家，其在1838年釋出了這個結論，後來該機率分布就以他的名字命名

正如大家所知道的一樣，生活中許多例項符合正態分布，比如人的身高分布，收入分布, 人的智商分布，情商分布。如在我的上一篇文章中講述的

中的例子一樣，對於溫度濕度潔凈度的房間內部的測試，房間內部的各個點的數值或者計量也符合正態分布

但是大家也不要小看卜瓦松分布，在我們的生活中，同樣存在著大量的例項符合卜瓦松分布的特點。比如

某醫院婦產科的在一段時間裏面的接生數量的機率分布

某超市的樂事薯片的在一段時間裏面的銷售情況的機率分布

飛機在一段時間裏面失事的機率分布等等

2.機率中的卜瓦松分布密度函式和帕松過程

工科機率論課本中解釋較簡單，主要是針對工科套用層面的解說。

卜瓦松分布是離散型機率中的一種

作者註:常用離散型機率有0-1分布，二項分布，卜瓦松分布，幾何分布等

機率論中的卜瓦松分布是從二項分布演化而來的

二項分布:假定我有100個不同的硬幣，每個硬幣分別投擲，問其中有1個硬幣出現正面，另外99個硬幣出現反面的機率就是一個典型的二項機率，其機率的密度分布為

P(X=K)=C( \frac{k}{100})*p^{k}*(1-p)^{100-k}

P為機率，本例中為0.5,K為正面向上的次數，本例中為1次, 且因為這一次可以出現在100個硬幣中的任何一個，因此C(1,100)

因此計算公式如下

P(x=1)=c(1,100)*（0.5^1）*（0.5^99）=7.89*10^(-29),這是一個非常小的機率

當我們將硬幣的數量從100個增加到1000個 10000個十萬個一百萬個之後，也即參與的樣本越大，則二項分布就逼近了卜瓦松分布。

卜瓦松分布的密度函式是

P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}*\lambda^{k}}{k!} ,這裏K對應著發生1次2次3次....n次的次數, P則對應著發生相應次數下的機率。

書中的解釋是說，當某一個事件發生的機率特別小,也就是p非常小，而樣本空間的數量特別大,也就是n特別大的時候，n*p= \lambda 。一般n>=20,p<=0.05就很符合帕松機率了

估計很多人不明白 \lambda 到底是什麽，這是教材編的不好的原因

其實我說白話大家就明白了,這裏的 \lambda 就是長期觀察的一段時間或者一段空間容量下的發生事件的次數，其實就是期望E=n*p

比如

長期觀察下來，某婦產科在一年當中基本上接生100個嬰兒，那麽 \lambda 就是100/年*1年

長期觀察下來,樂事薯片在一個星期裏面可以賣10包，那麽 \lambda 就是10/星期*1星期

長期觀察下來,世界上飛機在一年內失事的次數是1次，那麽 \lambda 就是1/年*1年

只不過，在這種情況下，卜瓦松分布的公式要覆寫成帕松過程的公式，如下

P(X=k)=\frac{e^{-\lambda*t}*(\lambda*t)^{k}}{k!} 或者 P(X=k)=\frac{e^{-\lambda*V}*(\lambda*V)^{k}}{k!}

以上分別指單位時間或者單位空間單位體積流量中的卜瓦松分布公式

我舉個實用的例子，比如一個小超市長期觀察下來,發現其薯片的銷售是每周能夠賣10包，請問現在到了月初需要備貨了，問這個超市考慮可能的銷量，一周內應該怎麽儲備薯片才合理呢

現在我們已知 \lambda =10/周，則帕松過程公式為

P(X=k)=\frac{e^{-10*t}*(10*t)^{k}}{k!}

我們考慮一周內其可能賣出的數量和對應的機率，則t=1[如果考慮兩周的備貨量，則t=2]

公式為

P(X=k)=\frac{e^{-10}*(10)^{k}}{k!}

K=0,也就是一周內一個都沒有賣出去,P(K=0)= e^{-10} =4.54*10^(-5)

K=1,也就是一周內只賣出一個, P(K=1)= e^{-10} *10=4.54*10^(-4)

K=2,也就是一周只賣出兩個,P(K=2)= e^{-10}*10^2/2! =2.27*10^(-3)

......

整理成表格如下，我使用EXCEL自動計算了結果

結果可以看到,如果在一周內備貨15個，其已經滿足了95%的可能性了，這也就是說在一周內，95%的可能性是銷售掉0-15個之間的數量，因此備貨15個則基本不會出現備貨不足的情況。而備貨18個，其累計機率已經是99%了

從上面這個例子，我們看到了卜瓦松分布的實際套用。

筆者註:簡而言之，卜瓦松分布就是考慮一個事件重復進行測試，獲得了單位時間的平均次數[期望]的情況下.考慮在下一個單位時間裏面發生0次，1次，2次.... 的各自機率

那麽有人問了，你羅嗦了這麽多，和暖通有什麽關系！

3. 暖通中的卜瓦松分布

3.1潔凈度檢測的最小取樣量:非零準則-根據卜瓦松分布機率計算

筆者註:這裏指的是單點潔凈度測試中的取樣量，而不是一個房間中的各個點的潔凈度分布。即不是正態分布或者t分布分析。下面的原話是每一測點

在規範GB50591-2010 潔凈室施工及驗收規範中，有這樣一句話--註意看數位3

有人知道這個公式中的3是怎麽來得嗎？

在潔凈室內部，單位容量--每立方米或者每升下的粒子濃度是非常低的，因此單位容量下的粒子分布可以按照卜瓦松分布來描述，

我們以一個ISO7萬級的潔凈室為例,已知其5um粒子濃度應該在千級到萬級之間的一個數值,也即平均期望為293粒-2930粒/立方米=0.293粒-2.93粒/升, 即單位容量下，比如一升裏面的粒子數量,其期望是一定的，下限為0.293粒這顯然符合卜瓦松分布，其每次檢測V升中，能夠發現粒子數量K粒的機率分布運算式為

P(X=k)=\frac{e^{-0.293*V}*(0.293*V)^{k}}{k!} (k=0,1,2....)

我們希望出現粒子計數器檢測不到，也即X=0的機率小於5%，也即檢測到至少一粒的機率至少為95%的計算公式如下:

筆者註:此為卜瓦松分布的非零準則

P(X=0)=\frac{e^{-0.293*V}*(2.93*V)^{0}}{0!}<=0.05 ，推出 e^{0.293V}>=20

化簡得到

V>=\frac{3}{0.293} 升=10.2升

右側算式中的分子就是GB規範中出現的結果3. 本質是ln20的結果

而計算結果就是10.2升---大家看上面GB圖表中也會發現,針對ISO7級5um的粒子其最小采樣量就是我的計算結果10.2

同理，我們可以獲得不同粒徑，不同等級下的各種最小采樣量，這裏我就不計算了，方法都是一樣的。具體參見上面的GB表格

3.2高效過濾器檢漏中的95%置信--卜瓦松分布置信問題

如果有人從事潔凈室高效過濾器的安裝檢漏工作，也許就明白我在說什麽。

高效過濾器的挑戰性實驗也是典型的卜瓦松分布套用。