撰文 | 吳建永 （美國喬治城大學神經科學系教授）
電路似文章
電路就是用電子元件寫成的文章。電子元件像漢字，連在一起先成句，再成篇。唐詩三百，每首不過幾十個字；電路千萬，也不過幾種基本元件。然天下電路千萬，幹嘛非要搭個「蔡氏」電路呢？ 概因普通電路都似八股文，雖起承轉折一絲不茍，然讀者卻能一眼看穿，全沒意思。而蔡氏電路則似聊齋故事，內藏狐貍精，千嬌百媚，時而花蝴蝶，時而暴風雨，陰晴無常，套路之多竟然沒有一絲重復。引得天下老司機趨之若鷲，研究文章上萬篇，各種科學雜誌上灌水。我雖生物狗一枚，卻也難敵色誘，故在周末來趟個渾水。
千嬌百媚狐貍精
怎個叫千嬌百媚？就是電子在電路裏跑的沒規律。我們都知道電路裏有大批電子在跑。一個小電路，也有一億億個電子。在一般電路裏，電子循規蹈矩規矩，上班一條路，回家一條路，一眼就能看到退休。而在蔡氏電路裏，電子不安分，可以一桿子一桿子（一股一股）地跑，可以一會兒前進一會兒後退，方向流量竟然無常。傾天下最強之超級電腦，也只能估計個大概，絕對不能精確推演出未來。
就有點像天氣預報，風雲雨雪，超級電腦只能估計個大概，超過一星期就不行了。蔡氏電路裏的電流和大氣中的亂流有類似的規律，就是所謂「混沌」行為。
亂流隨處可見，河水中的漩渦，香煙裏的飄逸，隨處可見。可是這些畢竟發生在野外，千奇百怪，稍縱即逝難以研究。而蔡氏電路要填補的科學空白就是在實驗室裏搭上一個永不消失的漩渦，讓你看個夠。下圖顯示器上的就是蔡氏電路產生的漩渦。
來自 https://www. chaotic-circuits.com/8- simulating-chaus-circuit-with-ltspice/
蔡氏電路的由來
蔡氏電路是受混沌大俠勞侖茲的啟示而誕生的。當年勞侖茲用電腦研究天氣預報，發現用同樣的數據，小電腦和大電腦算出來的預報竟然完全不同。這是因為小電腦精確到小數點後三位（不好意思，1960年代），大電腦可以精確到六位。那麽是否電腦更大就更精確呢？一般人也許就是這麽想了，可是人家勞侖茲（Edward N. Lorenz）不是一般人，老北京話叫「全須兒全尾兒」的數學家，居然慧眼看出不是電腦精度的問題，而是問題本身的不可預測性。其不可測就是因為大氣亂流中有混沌，就是已經被中文科普得臭了大街的「蝴蝶效應」。勞侖茲把他的想法用數學語言表達出來，得到勞侖茲方程式（圖1）。
圖1 勞侖茲方程式（左）和用方程式畫出的曲線（右），確實很像一只蝴蝶
看看從勞侖茲方程式跑出來的蝴蝶，比比題頭圖中示波器裏的曲線，是不是有一種神似？蔡氏電路就是用電子元件來實作勞侖茲方程式的精華。而他的發明者，華裔科學家蔡少棠（Leon O. Chua，1936-），是個像勞侖茲一樣的聰明人。勞侖茲用數學語言描述了這個自然界不可言傳的秘密，而蔡用電子工程的語言描述了同樣的理念。
說起蔡氏電路的發明還有一段佳話。當年勞侖茲公式發表之後，日本早稻田大學的松本教授立誌要用電子元件搭出勞侖茲方程式。可惜他忙活了三年，路子卻錯了。因為他是用電路模擬勞侖茲方程式裏的每一個參數，結果路線越來越大，幾千個元件鋪了一大桌子，卻只能形似，不能產生混沌。蔡先生本來是來松本實驗室學習的存取學者，第一天來實驗室，看了一眼那一大桌子，差點受了刺激，心中琢磨這個大boss一定是內卷了。蔡先生想到勞侖茲公式只有兩個非穩定點，也許只要少數幾個非線性元件就能實作。他回到招待所後夜不能寐，到處找紙，最後在紙巾上畫了只有五個元件的簡單路線。第二天他交給大boss，一試果然能產生混沌。一天戰勝三年，五個元件戰勝一大桌子，這段溫酒斬華雄般的佳話我一直念念不忘，科學家的成功不過如此 [1] 。蔡少棠就是「虎媽」他爸，虎媽式的訓練講究死板重復，疲勞轟炸。而蔡先生卻是心有靈犀的典範，反差大矣。
圖2 基本的蔡氏電路。L， 電感線圈；C1，C2，電容器；R，電阻；NR，蔡氏二極體。每個元件的作用和特征見正文。
看懂蔡氏電路
讓我帶您見識一下蔡氏電路吧，別怕，不懂電子工程沒關系，我也沒學過。電子工程不過是一門外語一樣的專門語言。語言雖不通，道理還是很容易懂的，只要把術語轉譯成日常語言，文科的你也能了解故事的奇妙。
蔡氏電路裏只有五個元件，電感L、電容C1，C2、電阻R，和一個怪東西NR。所有元件的共性是都有上下兩條「腿」，供電流進出。比如電流從上面進，下面出，或者從下面進上面出。圖2中水平的黑線是電線，黑點是電線和元件的接點。因此另一個共性是，所有元件的兩條腿都分別連在兩根電線上，這樣從一個元件流出的電流可以順著電線走進另一個元件。
要看懂一切電路的奧秘，就是要先從兩個連在一起的兩條腿元件開始。為講清楚，我們先研究一個更著名的電路（圖3），就是照亮世界的手電筒電路。
圖3 由電池和燈泡連線成的簡單電路
在圖3的電路中，電池（左）和燈泡（右）都是兩條腿的電子元件，把它們用電線（圖中紅線）連在一起，一個奇妙的現象就出現了：小燈泡大放光芒！具體地說，電池裏的化學能量驅動大量電子流過燈泡，電子在燈絲裏與金屬晶格碰撞釋放能量，把燈絲燒熱發光。在這麽個簡單的電路裏，每秒鐘大約有300億億個電子流過。電線一斷，電流就停止了，燈泡也不亮了。
電子學裏的著名原理
手電筒電路雖簡單，但包含了電子學裏最重要的一個原理，即電路都要有一來一回，來路和回路流過的電流完全相等。在圖3中，上下兩個綠箭頭標註的是電流的方向，上面流向燈泡，下面流出燈泡。一來一回必須完整，而且來回的電流值完全相等。你看，這麽幾句白話就說清了你在大學裏花好多學費才能學到的克希荷夫定律。教我電路的導師是路口修手機的李癩子，他有名言曰，「學會克希荷夫定律，走遍天下都不怕。」你再見到任何電器，都要下意識地找它的兩條腿，電流從哪進，從哪出。
有個喜歡擡杠的朋友說，為啥我的iPhone耳機只有一根線啊？這是為了方便，把兩個線做成一股。不信你把線剪斷了看看？還有個愛擡杠的朋友說那電腦芯片有幾百條腿，這回路還怎麽算？其實這芯片不過是由很多個兩條腿的元件組合罷了。比如電流回來的路可以共用一條，把它叫地線（圖3，圖3裏下面那條線都可以叫地線），其他幾百條線代表幾百個電池或燈泡那樣的兩條腿元件。
您如果能耐心讀到這裏，已經是一半出師了。下面分析蔡氏電路裏的狐貍精，我們需要有一些狐貍精心態。當然方法還是一樣的，先考慮圖4A中兩個連在一起的元件。左邊個彎彎繞元件叫電感（L），右邊那個片片叫 電容（C）。
圖4 LC電路 A：一個線圈和一個電容組成的LC電路，中間是電路圖，左邊是線圈的實物，右邊是電容的實物；B：LC電路的行為：電流來回流動，或稱為「振蕩」；C：由於電路中有能量損耗，振蕩的振幅會越來越低。
電感電容電器的半推半就
您不懂電感電容不要緊，戀愛一定談過吧？肯定懂得成功的戀愛一定要有半推半就。電感電容連在一起就像一對半推半就的戀愛夥伴。電容像主動的一方，一股電流，熱辣辣地放過來，它一點也不躲閃，照單全收。而電感則像被動的一方，對方放電的時候開始完全抵制，然後慢慢接受。這兩位連在一起是絕配：開始的時候電子被電容照單全收，因此電流流進電容；然後電感逐漸放下架子，電流又從電容流向電感，這麽來來回回。電流就像圖4B 左面那樣，一會從電感流向電容，一會又從電容流向電感。這種來來回回，用電子工程的行話講就叫「振蕩」。當然，振蕩和談戀愛一樣，不可能永遠甜蜜。所以實際情況就像圖4C那樣，隨著時間，激情會越來越少，振蕩振幅越來越低。
蔡氏二級管
凡是能拍四十集的戀愛劇，通常需要有個億萬富翁的老丈人或者公公之類不斷為男女主角提供財力支援，這才能讓戀愛故事波動不已。振蕩電路也是一樣，需要不斷供應能量，才能不像圖4C的曲線那樣逐漸死去。
蔡氏電路裏的「蔡氏二級管」（圖2最右邊那個NR）就是這樣的「掏錢角色」。給振蕩電路提供能量的方法有很多種，而這蔡氏二級管就是個奇葩，有了它才能產生奇葩的混沌。為啥說它是奇葩呢？因為它有個叫「負電阻」的反常特性。我們知道一個正常的兩條腿元件，兩端的電壓越高，則流過這個元件的電流越大。而蔡氏二級管正好相反，當兩端電壓降低時，流過它的電流會增加。這樣只要振蕩振幅（電壓）低了，蔡氏二級管就會提供額外的電流，讓振蕩持續下去。
蔡氏二級管是個本來不存在的元件，是蔡先生想象出來的。據蔡先生回憶，他的原始構想是用最少的元件來滿足勞侖茲方程式組的條件。因此他先畫出多個草圖，再利用克希荷夫定律把元件合並在一起（這過程有點像我們做數學題時候的整理公式）。做到最後，電路裏只剩下5個元件，但其中一個是自然界裏沒有的兩條腿元件「負電阻」。這負電阻雖然在自然界中是沒有的，但可以透過公式定義出來。所以第二天蔡先生交給松本教授的電路，是先在電腦上的電路模擬器上實驗成功的。而真正的電路，則是半年之後由蔡先生的學生做出來的。我們現在搭的電路是用兩個運算放大器來模擬出蔡氏二級管（圖5）。然而，只有蔡氏二級管這個奇葩還不足以產生混沌現象。下面我再送您個驚奇大禮包。
什麽情況？有小三！
仔細看圖2的蔡氏電路，絕對會有個大發現，這裏居然有兩個電容。除了左邊那個電感和電容組成的正常戀愛小兩口，中間那個電容（C1）分明是個扮演主動角色的第三者嘛！說它是第三者一點也不冤枉，因為它和左面的正常小兩口（電感電容）之間有個電阻作隔離。我不說您也能理解，凡是插足戀愛的小三故事都要有各種各樣的隔離，而且隔離不能太小或太大。隔離太大了小三只能像空氣一樣被忽略，而隔離太小了就會產生大悲劇，導致電視劇一集就斷片。所以不大不小的隔離是產生狐貍精的關鍵。
說實在的，這蔡氏電路比狗血電視劇高明得多，就是利用這個小三來提供勞侖茲公式裏描述的兩個不穩定狀態。思路是這樣的：當用一個LC電路和蔡氏二級管組成電路時，會產生振蕩，就是電子來回跑的非穩態現象；而如果再加一個小三，再引入一個新的不穩定因素，這樣就能產生混沌。根據這個套路，後來很多學者系統地研究了蔡氏電路，基本上認為能產生混沌的電路內一定要有個半推半就的振蕩器。有意思的是，這居然還是個沒有被證明的猜想，叫作 Elwakil and Kennedy conjecture [2] 。
周末搭個蔡氏電路
這麽簡單的電路，又這麽神奇，像我這樣的電路強迫癥患者如果不搭個玩玩，簡直是虛度此生了。值得安慰的是美國像我這樣的怪人很多，網上一找，各種經驗分享很多。於是我沒菲什麽功夫就搭了一個（圖5）。前面講過，蔡氏二級管是個想象出來的元件，實際上不存在。但網上很多人根據蔡先生的設想，用兩個運算放大器和幾個電阻就能搭出來（圖5B）。電路中的一個關鍵元件就是那個電阻，靠它調節兩個非線性元件之間的耦合程度。正如上面說的，耦合程度小了路線就不會產生混沌吸子（小三的影響被當成空氣），而耦合程度太高時則路線失去振蕩，被蔡氏二級管穩定在高或者低的電平上。
圖5 我搭的蔡氏電路。A為搭線上路板上的實際元件。圖中可見兩個運算放大器片（一個在鐵氧體磁芯上繞的漆包線圈），和幾個電阻電容元件。運算放大器用個9v電池供電，就實作蔡氏二級管的功能。B 為電路圖，裏面標了實際的電阻電容值。有興趣的網友可以按此圖搭一下。運算放大器用什麽型號都行，我用了手邊已有的LF356。
混沌吸子
在這兒我要教給您一個新詞，叫作「混沌吸子」。混沌（Chaos）到底是咋回事，目前仍然是上帝的秘密，人類還沒搞懂。但因為混沌現象普遍存在，所以也就被大家掛在嘴邊。在和別人談混沌的時候，您若是只知道蝴蝶效應，就會被別人看得很low很油膩，要是您說出「混沌吸子」來，B格就高多了，不但普通人不懂，真的碰上行家也能唬一下子。
吸子（attractor） 這個概念很容易懂，就是一個運動的物體被規範在一套軌域上這麽個事。比如秋千，蕩來蕩去總在一個看不見的空間軌域上跑。如果秋千被推了一下，可能左右歪歪，但最後還是會回到那條軌域上來。這種即使被推開還會自己回來的特性，有點像被吸引，所以這種狀態就叫作吸子。註意吸子是一種「狀態」而不是實物，比如運動場上的人都願意沿著跑道跑，這個現象就可以稱作「跑道吸子」。註意跑道這個實物並不是吸子，吸子是沿著跑道跑步這個現象。
回到混沌現象，那個蝴蝶狀的軌域（圖1右），肯定也是個吸子，但是因為它有兩個翼，兩套吸引軌域，比較怪，所以也叫 「奇異吸子」（strange attractor） 。當然奇異吸子也有不混沌的，所以用勞侖茲公式畫出來的蝴蝶軌域也特別被稱作「 勞侖茲奇異吸子 」。
用自己搭的蔡氏電路調出各種吸子，確實是件很酷的事。圖6就是當路線中的電阻值不同時形成的不同吸子。前面講過，當這個電阻變化時，蔡氏二級管和電容對LC電路有不同程度的影響：當蔡氏二級管和電容對LC電路影響最小時，LC電路出現規則振蕩，或尋常吸子（圖6左）；當影響加大時，路線逐漸出現奇異吸子（圖6中）；而當影響達到適中時出現混沌效應，即穩定的勞侖茲吸子。
圖6 蔡氏電路產生的動態特征
有學過物理的同學批評我，說我講了半天混沌吸子之類居然一個公式都不列，客氣點說是不嚴格，不客氣地說就是民科。但是我相信我李師傅的一句話，說「動不動就列公式的人實際上是不會用‘人話’講清道理」。雖然公式也是一種人話，但懂的人很少。所以如果能用家常話講清的科學道理就盡量不要用公式，還要避免雖然能列出公式，道理卻講不清的情況（比如量子力學）。
混沌電路的用途
說了半天混沌吸子，除了新鮮，又有什麽用呢？用處多著呢。比如說最安全的通訊，需要一個字元一個密碼，永遠不重復使用。但密碼從哪來呢？這個需要隨機數產生器。在電腦裏的隨機數產生器其實不是真隨機，用多了還是能被發現規律。而混沌電路則是真的隨機數產生器 [3] 。與此類似的用途是機器人尋找死胡同出口的演算法，即先亂走，再仔細分析 [4] 。還有一種比較神奇的用途叫‘混沌同步器’，就是兩個結構類似的混沌路線可以耦合起來，這樣對使用耦合者的雙方，路徑精確一致，互相知道在哪裏，而對其他觀察者，路徑則看起來像不可解釋的混沌狀態 [5] 。
迄今有很多科學家在研究怎樣將蔡氏電路簡化，比如用個真的兩條腿元件（憶阻器，memristor）來代替多個元件搭出來的蔡氏二級管。簡化蔡氏電路的目的是在一個小芯片上搭起上萬個混沌電路，也許能模擬大腦神經路線的某些特征。
讓我這個神經科學家最感興趣的還是混沌與產生思維的關系。我們知道每個腦細胞都是一個振蕩器，每個腦細胞一般和幾千個其他腦細胞聯系，這麽多耦合在一起的振蕩器是否有很多混沌行為呢？答案是肯定的。但是這些復雜的混沌行為和思維產生有關系嗎？進一步說，是否思維的產生需要依靠有混沌行為的路線？這些問題激發出一代一代科學家的興趣，但至今還沒有解。腦細胞互相連成的網是迄今知道的宇宙中最復雜的網路。這個網路肯定有很多獨特的性質。這方面留給各位去腦補吧，兄弟我再多說半句就會暴露出自己的無知了。
結 語
各位對混沌科學有興趣的朋友，你們要接受兄弟我的教訓，學科學要先學會不說人話（就是會用數學工具）。好多概念需要有數學工具才能懂，比如豪斯佐夫維度（Hausdorff-Besicovitch dimension [6] ），本來它是用來描述光滑度的，現在被用來描述混沌分型 [6] 。利用豪斯佐夫維度，混沌分型多半是非整數維甚至是無理數維的，比如用2.7維可以畫出菜花的表面；2.97維，就能畫出肺泡……我今天就先把您送到這兒吧。
彩蛋—— 動態系統的一些概念，您都搞明白了就是專家了
Anosov diffeomorphism
Arnold tong
Axiom A system
bifurcation diagram
box-counting dimension
correlation dimension
conservative system
ergodicity false nearest neighbors
Hausdorff-Besicovitch dimension
invariant measure
Lyapunov stability
measure-preserving dynamical systems
mixing Poincaré p
recurrence plot
SRB measure
stable manifold
topological conjugacy
參考文獻
[1]【科普一下虎媽他爸】我2012年寫的，發在紙媒【物理】雜誌上，後來微信自媒體裏也轉發過，傳抄者不少，用文章名搜尋吧。
[2] A. S. Elwakil and M. P. Kennedy. (2000) Chua's circuit decomposition: a systematic design approach for chaotic oscillators. Journal of the Franklin Institute 337 (2000) 251:265.
[3] Bonilla, L.L., Alvaro, M. & Carretero, M. Chaos-based true random number generators. J.Math.Industry 7, 1 (2016). https:// doi.org/10.1186/s13362- 016-0026-4
[4] Ch.K. Volos, I.M. Kyprianidis, I.N. Stouboulos. (2012) A chaotic path planning generator for autonomous mobile robots. Robotics and Autonomous Systems Volume 60. Issue 4 2012.
[5] 5 Kinzel W., Englert A. and Kanter I. (2010) On chaos synchronization and secure communication. Phil. Trans. R. Soc. A.368379–389
[6] https:// en.wikipedia.org/wiki/H ausdorff_dimension
