問題：一個物體，在離地面高度為R的高空，地球半徑也為R，然後做自由落體落在地面上。設地球表面上重力加速度為g，如果不考慮空氣阻力，求落在地面上所需的時間。（大家可以自己先做一下）
傳統的做法呢，假設物體在某時刻，距離地面的高度為h，那麽物體的加速度是g*R^2/(R+h)^2 ，那麽我們可以列出如下的微分方程式。
當求 h(t)=0 的時候 t 的值，解出即可。
這個方程式是個二階的微分方程式，需要兩次積分，雖然可解，但是過程相對復雜。當時我解這個方程式一時半會沒解出來。
但是呢，這道題有一個非常巧妙刁鉆的做法。
我們現在給物體一個很小很小水平初速度v，然後把地球無限無限的縮小，但是品質不變，縮小成一個點。這樣小球會做什麽運動？
根據克卜勒第一定律，這個物體的運動軌跡當然會是橢圓了！而且地球的質心將會是一個焦點。
然後呢，根據克卜勒第二定律，物體的切向速度乘以速度到焦點的距離是個定值。因為一開始的距離是2R但是速度接近0，所以到焦點的另一側，速度非常大，那麽距離肯定就接近0啦！
那麽計算這個有什麽用呢？然後看克卜勒第三定律：行星繞太陽的周期的平方和半長軸的立方成比例。什麽是半長軸？就是橢圓長軸的一半啦！這裏半長軸的長度也就是R。
行星繞著太陽是如此，那麽物體繞著質點也是如此啦！那麽，這個物體做一周橢圓運動的時間，和行星以第一宇宙速度繞地球表面一圈的時間是一樣的，我們設其為T。
然後我們再把地球放大到R，發現什麽呢，物體根本做不完一周的圓周運動，運動個R的距離就被擋住了。我們測量這個物體掃過的面積，發現掃過的面積是四分之一的橢圓加一個直角三角形。橢圓的長軸是R，短軸假設為b（b->0），則四分之一橢圓的面積為 pi*R*b/4，而直角三角形的面積為 0.5*R*b，而橢圓總面積為 pi*R*b。然後根據克卜勒第二定律，求出面積比即可算出落地用時。
所以用時為T/4+T/(2*pi)。最後算出物體大約34.5分鐘落地。
多麽簡潔的的過程！只用高中的知識就能做出來。
當然了，如果離著地面的高度不是R，我們設為H，結果肯定是也能做的，我一開始想法是微積分，不過評論區有人指出用切割法也完全能做，也並不難做。我自己算出了一個結果，大家可以檢驗一下對不對，也可以自己嘗試著算一下。
這個結果在H<<R的情況下給出自由落體的結果，註意的是右邊的arccos需要使用近似，不能讓其直接為0，否則結果會小一半。在H=R的情況下則給出的結果和之前相同，所以我對這個結果還是有把握的。
這個方法還可以計算兩行星在萬有重力作用下運動的距離和時間的關系，或者計算兩個粒子在庫侖力作用下運動距離和時間的關系，還是有一定的套用價值的。
