為何自然數列和為平方數是每6倍出現一次？

題主發現的其實是一個比較經典的數學問題了，

f(n) 叫做三角形數， m^2 是平方數，其實也可以叫四邊形數、正方形數，求這兩種數位的交集實際上是解一個 Pell 方程式：

x^2-2y^2=1 ，其中 x=2n+1,y=2m

求這個方程式的正整數解可以參考：

根據 Pell 方程式的理論，我們知道方程式的所有正整數解 (x_k,y_k) 可以由一組最小解 (3,2) 生成：

x_k+y_k\sqrt 2=(3+2\sqrt 2)^k ，

根據 Q(\sqrt2) 的自同態

\sigma:a+b\sqrt 2\rightarrow a-b\sqrt 2 ，可以知道：

x_k-y_k\sqrt 2=(3-2\sqrt 2)^k ，

根據上面兩個式子可以解得：

y_k=\frac{\lambda^k-\lambda^{-k}}{2\sqrt 2}, \lambda=3+2\sqrt 2 ，

所以 m_k=\frac{\lambda^k-\lambda^{-k}}{4\sqrt 2}

然後我們可以計算mk數列的後一項比上前一項的比值：

\frac{m_{k+1}}{m_k}=\frac{\lambda^{k+1}-\lambda^{-k-1}}{\lambda^k-\lambda^{-k}}=\lambda+\frac{\lambda^2-1}{\lambda^{2k+1}-\lambda}

我們可以發現，

這個比值是隨著 k 增大而減小的，

數列的極限是 \lambda=3+2\sqrt 2\approx 5.8284

事實上，從 k=4 起，這個比值就已經比較接近 \lambda 了。

其中橫線是 y=\lambda

另外，三角形數還有更多規律，比如：

①如果 n 是一個三角形數，那麽

9n+1 仍是一個三角形數，

25n+3 仍是一個三角形數，

... ，

k^2n+\frac{k^2-1}{8} 仍是一個三角形數，其中 k 是正奇數，此處讀者可嘗試推導。

②相鄰的三角形數的和是平方數，

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+1)^2

③第 n 個三角形數的平方是前 n 個立方數的和，

(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3

根據上面公式還可以得到：

第 2n^2-1 個三角形數是前 n 個連續正奇數的立方和：

1+2+...+(2n^2-1)=1^3+3^3+...+(2n-1)^3

此處讀者可嘗試推導。

④高斯三角形數定理：每一個正整數都可以表示為最多3個三角形數的和。

⑤偶完全數都是三角形數，其中完全數就是它除了本身以外的因數和等於其本身，比如6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14，

歐拉證明了偶完全數的形式：2^{p-1}(2^p-1)

其中 p 是質數，且 2^p-1 也是質數(即梅森質數)，

因為

2^{p-1}(2^p-1)=1+2+...+(2^p-1)

所以偶完全數是三角形數。

⑥第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617716）、第111111個三角形數（6172882716）、第11111111個三角形數（61728399382716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11111個和第1111111個三角形數不是。

⑦55、5050、500500、50005000……都是三角形數，分別是第10個，第100個，第1000個，第10000個三角形數。

⑧三角形數倒數和極限是2，

\lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+...+\frac{1}{1+2+...+n})}=2

裂項相消即可。

事實上多邊形數位的研究是一個古老的問題了，費馬，拉格朗日，高斯，柯西都做過研究，比如費馬多邊形數位定理：每一個正整數都可以表示為最多n個n邊形數的和，拉格朗日證明了四平方和定理(n＝4)，高斯證明了三角形數的情況(n＝3)：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ，柯西證明了一般情況，還有平方金字塔問題，前n個平方數的和是否可能是一個平方數，答案只有n＝1，24，在100年前得到完整證明。