「有理數」乘法不需要定義有理數，但是要先定義整數乘法逆元
為了後面的討論不產生困惑，先交代一點關於「逆元」概念的知識，不知道你的程度，如果你沒接觸過抽象代數的話就看一下，如果有一定基礎知識請忽略：
關於逆元的知識。在群結構中，有一種叫做單位元素素的東西。
單位元素素的意思是，元素a與單位元素素做運算，還得到元素a本身，比如實數加法單位元素素是0，因為任何實數a+0都還得a，實數乘法元素是1，因為任何實數ax1都還得a。當然運算除了加法和乘法之外還有無窮多種。那麽定義了單位元素素之後就可以定義逆元，一個元素的逆元就是與這個元素進行運算以後會得到單位元素素的元素。
比如實數a的加法逆元就是-a，因為a+（-a）=0（加法單位元素素）
再比如實數a（a≠0）乘法逆元是1/a，因為ax（1/a）=1（乘法單位元素素）
一般地，如果x的逆元記為x', 群G是H下的某種運算，a，x，x'都屬於H, 則有 a□x□x'=a （群不一定有交換律但是一定有結合律）
背景交待完畢，下面正式進行解釋。
有理數是整數同構出來的沒錯
但是你不需要知道有理數乘法是不是群，是什麽東西，你可以先不加定義的去進行運算
實際上大部份時候都是要先定義數的運算，然後才能定義數集的
就像自然數同構出整數的時候，你應該看過，一開始（a，0）（0，a）（這個是自然數有序對，不是區間，a是自然數）是不加定義的，你可以先假設自然數對組成了這麽個集合，然後管這個未知集合叫比如說H, 然後給H規定一些交換分配結合之類的乘法和加法運算規則，然後就可以直接去運算它。 然後再把（a,0）(0,a)起個名字叫整數，然後規定記法，把（a，0）記為a，把（0，a）記為-a，把H起個名字叫整數集，這樣就有整數了。在你只有自然數的時候，你就可以假設有這個看不見摸不著不知道叫啥的東西x，他具有一種性質就是x與自然數2的和是0
有理數也一樣
其實證明a/b*c/d=ac/bd
實際上就是已知具有唯一性的x，y，z，使得xb=1 yd=1 z(bd)=1，然後證明z=xy
首先賦予他們交換律和結合律，然後因為xbyd=1*1=1 所以xbyd=xy(bd)=z(bd)=1 必然xy=z（因為題設x，y，z都具有唯一性，x，y，z叫做b，d，bd的乘法逆元，即使題目不說唯一性，逆元本身也具有唯一性）。
你並不需要知道這個x，y和z到底是個什麽東西，你只要知道有一個x使得xb=1就行了，就像不需要知道√2是啥，你只要知道有個a∈R+,使得a^2=2就行了，然後再記這個a為√2，或者你不知道i是啥，你只要知道有個東西平方是-1，然後你把它記作i
下一步就是規定記號。我們把x作為b的乘法逆元，記作1/b，d的乘法逆元記為1/d，bd的乘法逆元記為1/bd。這個不是什麽除法，而只是一種符號記法而已，就像平方是2的正數我記為√2，平方是-1的數我記作i，3的逆元我記為-3
此外我再把n*(1/m)記為n/m
於是 a/b*c/d=axcy=ac(xy)=acz=ac/bd
從頭到尾我都沒有用任何有理數的概念，也沒有用到除法，我只是在做整數和整數乘法逆元的乘法運算而已
或者你也可以直接把整數環進行localization，構造出分數體，這樣一來a/b*c/d=ac/bd就不需要證明了，因為他本身就是強制規定
