點進來之前我以為的推廣: 推廣到更一般的拓撲空間，至少也不能是 \mathbb{R}^n 這樣又有度量又完備的空間
實際上問題裏的推廣: 把極限定義裏的 \varepsilon 換成 f(\varepsilon)
好吧……
實際上我感覺這個並不能叫推廣，因為你把極限的 \varepsilon-\delta 定義
\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<\varepsilon)覆寫成
\forall\varepsilon>0\, \exists \delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<2\varepsilon)或者
\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|\leqslant\varepsilon)又或者
\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,\left(|f(x)-A|<\frac 1n\right)看起來是減弱(或者加強)了極限的條件
well, 都把 <\varepsilon 的條件放寬到 \leqslant2\varepsilon 了，或者說都把 \forall\varepsilon >0 限制到 \forall\varepsilon=\frac 1n>0 了，總歸是把條件減弱了一點吧？但是實際上上面四個條件都是 完全等價 的，換句話說是充分必要條件。
這確實是剛接觸極限定義時很可能會產生的疑問，也不失為一道很好的思考題。這四個條件的等價性的 精髓 都來自於最開頭的 \forall , 對於初學者想想這個問題能增進對抽象的 \varepsilon-\delta 定義的理解。
總之，問題裏的命題至多能算個極限定義的等價形式或者結論，應該是算不上 推廣 的。希望我表達清楚了。
那麽推廣自然是有的。首先我們要拋棄醜陋的 \varepsilon-\delta 語言，轉而使用更優美(大霧)的鄰域來定義(註意，在 \mathbb R 裏這仍然與 \varepsilon-\delta 定義是 等價 的)：
\forall U(A)\,\exists U^\circ (a)\left(f(U^\circ(a))\subset U(A)\right)U 代表鄰域而 U^\circ 代表去心鄰域。啥意思呢？不嚴謹的說就是只要 f 能把 a 附近的所有點都對映到 A 的附近，那麽就稱 \lim_{x\to a}f(x)=A . 看到沒？現在我們擺脫了 |x-a|<\delta 這樣的 距離 概念，而距離是一個比較嚴格的東西，不是所有的空間都能有的(事實上我們把裝備了距離的空間專門稱為 度量空間 )。擺脫了距離的概念我們就可以把極限推廣到更一般的拓撲空間, 只要拓撲空間中有鄰域的概念就可以利用類似 \forall U(A)\,\exists U^\circ (a)\left(f(U^\circ(a))\subset U(A)\right) 的東西定義極限，具體比較復雜我懶得寫了。
另外一個方向是仍舊留在度量空間裏，只不過用更一般的度量 d(-,-) 代替 \mathbb R 中的歐式度量。例如在度量空間 (X,d) 裏給定一個序列 \{x_n\}\subset X 和一個點 x ，若滿足
\forall \varepsilon>0\,\exists N>0\,\forall n>0\,(d(x_n,x)<\varepsilon)我們就稱 x 是 \{x_n\} 的 極限點 。
一個例子是在所有連續函式空間 C([a,b]) 裏給出 L^\infty 度量||f||:=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)| ，我們就能在C([a,b]) 裏確定一列函式 \{f_n\} 的極限。在這樣的極限下可以發現任何連續函式 f 都可以被一列 多項式 一致逼近，也就是說總存在一列多項式 \{p_n\} 有 p_n\to f 。這個結論可以更簡單的表述為: 多項式在 C([a,b]) 中 稠密。又或者我們留在 \mathbb R 裏，把極限概念本身作一下推廣，也就是常見的 上極限 和 下極限 :
\varlimsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geqslant n}\{a_k\}\varliminf_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\geqslant n}\{a_k\}
這個就不展開講了，數分或者高數書上都有。
如果有錯請不吝賜教
