只要學過廣義相對論，學過 史瓦西度規(Schwarzschild metric) ，就能夠很輕易地回答這個問題。我這裏可以用一個簡單的例子科普一下重力對光的作用。愛因史坦在1915年，透過廣義相對論的計算，預言了一束光在射向太陽周邊時， 出射光會在太陽重力的影響下發生偏轉 ，同時他還透過 微擾論 的方法解出了 出射光偏轉的角度 ，並在後來，該結果得到了實驗的驗證，奠定了愛因史坦廣義相對論的成功。
太長不看版：在大品質球對稱物體的周圍， 時空因為重力的作用發生了彎曲 ，而光是沿著該彎曲時空中的最短距離的線—— 測地線（geodesics） 運動的，所以在彎曲的時空中運動時，光的軌跡會發生偏轉。
正式推導版：
1. 基本方程式的推導
首先，我們知道在品質為 M 的球形物體周圍的真空中，時空由 史瓦西度規(Schwarzschild metric) 給出
ds^2=-(1-\frac{2GM}{r})dt^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2\theta d\phi^2 \tag{1}
其中 G 是萬有重力常量， s 是proper distance（我甚至不知道它中文是啥），t 是時間， r 是徑向距離， \theta 和 \phi 是相對 z 軸和 x 軸的夾角。因為我們具有三維的旋轉對稱性，所以我們可以取任意的 \theta 角作為我們所討論的平面，我們不妨取 \theta = \pi/2 ，此時史瓦西度規簡化為
-d\tau^2=-(1-\frac{2GM}{r})dt^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2+r^2d\phi^2 \tag{2}
其中 d\tau^2=-ds^2 ， \tau 是 原時(proper time) ，也就是一個 觀察者在自己的參考系裏看到的自己的時間 （這個時候大家是不是已經想到時間膨脹效應了）。然後我們知道，在史瓦西度規下，有兩個 Killing Vector 如下（可以簡單理解為 時間平移對稱性 和平面內的 旋轉對稱性 ，所以一個是對 t ，一個是對 \phi ）
K=\frac{\partial}{\partial t}=(1,0,0,0) ,\ R=\frac{\partial}{\partial\phi}=(0,0,0,1) \tag{3}
一個Killing Vector對應一個守恒量，所以我們把這兩個Killing Vector分別對粒子的4-速度（4-velocity） u=(\frac{dt}{d\tau},\frac{d\vec{v}}{d\tau}) 做點積，即可得到如下的兩個守恒量
\varepsilon=-K\cdot u = -g_{t\mu} u^{\mu}=(1-\frac{2GM}{r})\frac{dt}{d\tau}=const \\ l=R\cdot u=g_{\phi\mu}u^{\mu} = r^2\frac{d\phi}{d\tau}=const \tag{4}
這裏用 \varepsilon 來表示第一個守恒量，是因為它的定義就是 「機械能密度」 ，所以用一個能量密度的符號來表示它，第一個式子可以理解為 能量守恒 ；而用 l 來表示第二個守恒量，自然是利用了這個式子和 角動量 的相似性，因此第二個式子可以理解為 角動量守恒 。把(1)式兩邊同時除以 d\tau^2 ，同時考慮到，對於無品質粒子，比如光子而言，它的正規時間proper time d\tau =0 ，我們有
0=-(1-\frac{2GM}{r})(\frac{dt}{d\tau})^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}(\frac{dr}{d\tau})^2+r^2(\frac{d\phi}{d\tau})^2 \tag{5}
把(4)式中的兩個守恒量代到(5)式中，兩邊同時乘以 (1-\frac{2GM}{r}) 可得
-\varepsilon^2+(\frac{dr}{d\tau})^2+(1-\frac{2GM}{r})\frac{l^2}{r^2}=0 \tag{6}
合理地移動上式中的項，並定義一個 有效能量Effective energy E_{eff}=\frac{1}{2}\varepsilon^2 ，我們有
\frac{1}{2}(\frac{dr}{d\tau})^2+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{GMl^2}{r^3}=E_{eff}\tag{7} 為了之後的計算方便，我們需要重新定義(7)式中的變量，我們定義 u=1/r ，對 u 求 r 的一階導，並且利用式(4)，我們直接得到
\frac{du}{dr}=-\frac{1}{r^2}=-\frac{1}{l}\frac{d\phi}{d\tau}\\ \frac{dr}{d\tau} = -l\frac{du}{d\phi} \tag{8}
把這個結果替換到式(7)裏頭，我們就得到了一個 u(\phi) 需要滿足的 非線性微分方程式
\frac{1}{2}l^2(\frac{du}{d\phi})^2+\frac{l^2}{2}u^2-GMl^2u^3=E_{eff} \tag{9}
這個式子為接下來的分析提供了非常大的便利。
2. 光在太陽重力下發生偏轉的物理圖景
好了，現在我們有了方程式，接下來我們來考慮物理圖景，如下圖， 太陽 是中間那個紫色的球體，品質為 M ，我們利用旋轉對稱性，把 z 軸擺到 垂直紙面指向我們的方向 ，所以紙面內的座標就由 r 和 \phi 來決定了。我們認為 \phi 軸是指向正右方， r 軸指向正上方，考慮一束光在右邊入射（藍色的箭頭），也就是 \phi=0,r(0)=-\infty,u(0)=0 處，它入射的這條線（黑色實線）和太陽有一個垂直距離 b ，這個在散射理論裏叫做 impact factor （原諒我又不知道它中文叫什麽），這個垂直距離會「大約」在 \phi =\pi/2 處達到。
因此，我們可以知道， r 的最小值就是 b ，同時 u 的最大值是 1/b 。在經過太陽重力的偏轉後，這個光束會被偏轉一個角度 \delta\phi 並出射，如圖左邊的藍色箭頭，此處 \phi=\pi+\delta\phi ，同時 r(\pi+\delta \phi)=\infty,u(\pi+\delta \phi)=0 ，我們的目標就是利用這個物理圖景和公式(9)，算出這個 \delta \phi ，並且和實驗做比較。
首先自然是利用 u_{max}=1/b 這個條件，得出 E_{eff} 的值，在 u=u_{max}=1/b 處， \frac{du}{d\phi}=0 ，代入公式(9)，我們有
E_{eff}=\frac{l^2}{2b^2}-\frac{GMl^2}{b^3}\tag{10}
所以(9)式變為
(\frac{du}{d\phi})^2+u^2-\frac{1}{b^2}=2GM(u^3-\frac{1}{b^3}) \tag{11}
之後我們會用微擾法來求解這個非線性方程式。這裏插一句玩笑話，在上課的時候，老師講到這裏要用微擾論來做，然後我們就有個同學問到，這個方程式看起來很簡單呀，為什麽不能直接放進MATLAB裏數值解一個初值問題呢？我隨手就可以寫出來。老師回答，你要考慮到，當初愛因史坦解這個方程式的時候是1915年，那個時候別說MATLAB，連電腦都沒有，我們不用微擾論，還能用什麽做呢？每每想到這裏，我都會感慨於先人之技藝精湛。
3. 微擾論計算偏轉角度
我們利用，太陽的半徑遠遠大於 2GM 這一點（這個我們可以查資料得到，或者從物理意義上看也很清楚，史瓦西度規告訴我們， 2GM 表示的是 黑洞的視界(event horizon) ，太陽的半徑如果小於或者差不多等於它，那太陽就是個黑洞了，不過實際上太陽的密度遠遠小於黑洞的密度，所以半徑要遠大於這個值），可以引入一個微擾展開的因子
\xi=\frac{2GM}{b} \tag{12}
把式(11)寫成
(\frac{du}{d\phi})^2+u^2-\frac{1}{b^2}=b\xi(u^3-\frac{1}{b^3}) \tag{13}
然後我們假設我們的解 u 可以寫成如下的對 \xi 的微擾展開的形式
u=u_0+u_1+O(\xi^2) \tag{14}
其中 u_0 是\xi 的0階項， u_1 是 \xi 的一階項，然後更高階的項我們就可以直接丟掉了，因為 \xi 是個小量。把(14)式代入(15)式中，我們有（只保留到 \xi 的一階項）
(\frac{du_0}{d\phi})^2+2\frac{du_0}{d\phi}\frac{du_1}{d\phi}+u_0^2+2u_0 u_1-\frac{1}{b^2}=b\xi(u_0^3-\frac{1}{b^3}) + O(\xi^2) \tag{15}
4. 0階方程式的求解
我們取出(15)式中的0階項，得到如下的方程式
(\frac{du_0}{d\phi})^2+u_0^2-\frac{1}{b^2}=0 \tag{16}
我相信不少數學好的同學可以一眼看出這個方程式的解，它的解就是
u_0(\phi)=\frac{1}{b}\sin(\phi) \tag{17}
可以很輕松地檢查這個解滿足我們的邊界條件。
5. 1階方程式的求解
把式(17)代回式(15)，並且註意到0階的方程式的那幾項已經互相消掉了（因為這個 u_0 滿足0階方程式(16)），我們有
2\frac{du_0}{d\phi}\frac{du_1}{d\phi}+2u_0 u_1=b\xi(u_0^3-\frac{1}{b^3}) \tag{18}
即
\frac{du_1}{d\phi}\frac{1}{\cos(\phi)}+\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} u_1=\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin^3(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) \tag{19}
這個式子看起來很繁瑣（其實確實很繁瑣），但是仔細觀察可以發現，它是可以很好地簡化的，因為式子的左邊可以寫成
LHS=\frac{du_1}{d\phi}\frac{1}{\cos(\phi)}+\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} u_1 = \frac{d}{d\phi}(\frac{u_1}{\cos(\phi)}) \tag{20}
而式子的右邊又可以寫成
RHS=\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)(1-\cos^2(\phi))}{\cos^2(\phi)}-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) =\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\sin(\phi)-\frac{1}{\cos^2(\phi)})\tag{21}
把(20)和(21)放進(19)裏，我們就得到了一個很簡單的形式
\frac{d}{d\phi}(\frac{u_1}{\cos(\phi)}) =\frac{\xi}{2b}(\frac{\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)}-\sin(\phi)-\frac{1}{\cos^2(\phi)}) \tag{22}
大家可以看到，要解式(22)，我們只要把式子兩邊對 \phi 積分就好了，正好式子右邊又是幾個簡單的三角函式，這裏要是誰不會積，是得回去向自己的微積分（或者數學分析）老師道歉的噢。對 \phi 積分，我們得到
\frac{u_1}{\cos(\phi)} = \frac{\xi}{2b}(\frac{1}{\cos(\phi)}+\cos(\phi)-\tan(\phi)) + C \tag{23}
這裏 C 是做不定積分的時候得出來的積分常數，所以最後我們就有如下的解
u_1(\phi)= \frac{\xi}{2b}(1+\cos^2(\phi)-\sin(\phi)) + C\cos(\phi) \tag{24}
利用初始條件 u(0) = 0 ，我們可以求出常數 C = -\frac{\xi}{b} ，再結合之前解出來的 u_0 = \frac{1}{b}\sin(\phi) ，也就是式(17)，我們得到了微分方程式(11)，微擾展開到 \xi 的一階的解，如下
u(\phi)=u_0(\phi)+u_1(\phi) = (1-\frac{1}{2}\xi)\frac{1}{b}\sin(\phi)+\frac{\xi}{2b}(1-\cos(\phi))^2 + O(\xi^2) \tag{25}
哇，真是一段很長的旅途，但是接下來就輕松了，因為我們現在可以計算光經過太陽重力場的偏轉角了！
6.偏轉角的計算
此處我們代入光在出射之後的邊界條件即 u(\pi+\delta \phi)=0 ，我們有
(1-\frac{1}{2}\xi)\frac{1}{b}\sin(\pi+\delta\phi)+\frac{\xi}{2b}(1-\cos(\pi+\delta\phi))^2 = 0 \tag{26}
因為我們知道這個偏轉角 \delta\phi 是小量，所以我們可以把正弦余弦函式都在 \pi 處展開，就得到了如下的近似
\sin(\pi+\delta\phi) =\sin(\pi)+\delta \phi \cos(\pi)+O(\delta\phi^2)\approx -\delta \phi\\ \cos(\pi+\delta\phi)=\cos(\pi)-\delta \phi \sin(\pi)+O(\delta\phi^2)\approx -1 \tag{27}
所以式(26)式就變成了（註意到 \xi \ll1 ）
-\frac{1}{b}\delta\phi+\frac{\xi}{2b}2^2=0 \tag{28}
即
\delta \phi \approx 2\xi \approx \frac{4GM}{b} \tag{29}
首先第一件事，我們要check這個結果是不是符合我們的假設，我們註意到 \delta \phi \propto \xi \ll1 確實是一個非常微小的轉角，所以之前做的一系列近似是沒問題的，其次，我們要對比實驗，如果我們認為這個光就直接在太陽表面掠過的話， b\approx R 即太陽的半徑，那麽可以得到如下的轉角數值
\delta \phi \approx 1.75'' \tag{30}
這裏的 '' 是角秒的意思，也就是 1^\circ = 60'=3600'' ，可見這個偏轉角確實非常非常小，以至於沒有很精確的實驗根本觀察不到，但是人類的力量是偉大的，我們後來在太陽系中真的做了相應的實驗，並且得到了式(30)的實驗結果，又一次證明了愛因史坦廣義相對論的正確。
7.小結與展望
這裏我推了一遍我們在廣義相對論課上學到的光在太陽重力作用下的偏轉角度的計算方法，大家可以自己推一遍並且我們一起交流討論。從中可以得知， 重力對無品質的粒子也是有作用的 ，絕非大家直觀上用 牛頓力學 可以猜測的，因為 無品質粒子沒有品質 ，所以 不會受到重力的作用 。當我們在考慮無品質粒子這種fancy的東西時，一般來說都需要從廣義相對論的角度出發，而非經典的牛頓力學。一言以蔽之，由廣義相對論我們得知，一個 球體周圍的時空 在它的重力場下發生了 彎曲 ，所以光在其中的運動，是會受到相應的影響的，即便光是沿著這個彎曲時空中的最短距離—— 測地線（geodesic） 。
另外給大家留一道 思考題 ，如果是一個 接近光速飛行 的 微小品質粒子 射向太陽，你能夠按照我上述的推導步驟，得出它在太陽重力下的偏轉角度嗎？在這種情況下，微小品質粒子的proper time d\tau \neq0 ，所以公式(5)變為（公式左邊不再是0，而是1了）
-1=-(1-\frac{2GM}{r})(\frac{dt}{d\tau})^2+\frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}(\frac{dr}{d\tau})^2+r^2(\frac{d\phi}{d\tau})^2 \tag{31}
只要你完整地按著我的步驟推導一遍，你會得到一個很神奇的結果。而 如何構造一個實驗來區分微小品質粒子 m\ll1 和無品質粒子 m=0 可是我們廣義相對論的一道考試題噢，我相信你如果做得出來，你會對此有更深入的理解。
References
Jacob Barandes, Lecture Notes 34,35, Physics 210: General Theory of Relativity, Spring 2021, Harvard University
