惡老師秘制數學小漢堡，富含維生素abcdefg，大體難度不超過★★★☆☆，非常適合智力中等及以上人類食用。
強行摻入微量 初等數論 ，用以提鮮，劑量極小絕不致死……
儀式完畢，正文馬上開始！^_^
弱弱鬥膽說一句：本答案應該是目前所有回答裏最全最細致最明白的，寫作中途我也遇到了困難整整想了3天才解決。
說實話這個問題看似極其簡單，深挖起來簡直深不見底。
本文從計算1/49迴圈節這樣小學生都會的難度，一直層層遞進，帶你穿過歐拉定理，直至觸碰到世界未解數論難題，這其中的冒險實在是非常刺激，一路上我已經為大家披荊斬棘，難度壓到最低，歡迎來我的數學胎教樂園玩耍！^_^（強行誘捕上車）
全文手碼為愛發電！！望點贊！！有任何bug歡迎指出，因為我寫字真的特別粗心，復制黏貼都會弄錯的那種，感謝！！！
（文末有彩蛋福利，請大家堅持看完！）
！！重要更新！！
關於正整數倒數迴圈節長度問題，我已經有了更為一般性的解答！！歡迎取閱！！
趣味詳解版：
無情精簡版：
如果你的數學基礎比較差，建議先閱讀本文哦～～～
〇、你的小算盤不對勁，你更不對勁（難度：★☆☆☆☆）
首先我真的要吐槽題主，你那個小算盤螢幕太小了，連1/49的迴圈節都顯示不完整，你看看我的大屏小算盤效果多好：
而且題主的描述也很不對勁：
所以你以為回答就到這裏結束了嗎？
天真！！！
惡老師的數學胎教～才剛剛開始！！！寶貝們快快上車！
一、1/49，沒在怕的！（難度：☆☆☆☆☆）
有一件事情是肯定的：能寫成分數的必是迴圈小數（不迴圈小數可以看作迴圈節為0），並且迴圈節出現是因為余數有限（余數的數量必然小於除數）。
所以看到1/49，真沒在怕的，它余數的數量不可能超過49，迴圈節位數也不可能超過49。
盡管你的小算盤不行，但是你的手行啊！
筆算一下1/49的小數部份，很容……很難嗎？！
二、嘻嘻，1/49其實是一個2位有限小數（難度：★☆☆☆☆）
這個很有意思，並且我看了下，好幾個回答已經提到了，但奇怪的是，點贊不多，估計是很多人腦子沒轉過來。
所以我再講解下，在7進制的胎位下，你懷的崽子只有7根手指，他的世界裏就是逢七進一，十進制的6還是6，十進制的7卻成了10，49正好是7的平方，所以十進制的49就是七進制的100，化成分數1/100=0.01。
明白了吧？
不過正經人誰用7進制啊，你考試敢用7進制答題嗎？
不敢吧！
所以我們還是得老老實實地回答這個問題：
為什麽在10進制下，1/49寫成小數，迴圈節那麽長呢？有什麽辦法能夠分分鐘算出迴圈節長度嗎？
這，才是一個好問題。
三、配一把萬能鑰匙（難度：★☆☆☆☆）
對我來說，如果要確定迴圈節的長度，就必須先搞明白，任何一個迴圈小數寫成分數應該是什麽樣子——這就是我要配的鑰匙了。
為了方便，這邊只考慮 純迴圈小數 ，就是從小數點後第一位就開始迴圈。
顯然，在10進制下，純迴圈小數分母的因數不能包含2或5，舉幾個例子：
1/7的分母既不包含2也不包含5，所以它是純迴圈小數0.142857 142857 142857...；
1/27的分母也是既不包含2也不包含5，所以它也是純迴圈小數0.0370 0370 0370...；
1/15的分母包含5，所以它是混迴圈小數0.066666...，它可以看作純迴圈小數2/3=0.666666...的十分之一；
1/6的分母包含2，所以它也是混迴圈小數0.166666...，它可以看作是上面的1/15再加上0.1。
因為在本問題中，主要目標是確定迴圈節位數，所以就把混迴圈小數踢到一邊，只需管好純迴圈小數就夠了。
現在，我們設這個純迴圈小數的 迴圈部份 為 k_{1}k_{2}k_{3}...k_{m} 。
迴圈小數，感覺沒完沒了，怎麽樣和幹凈利索的分數產生關系呢？
當然是得想辦法 消掉迴圈小數的迴圈部份 呀！
這個辦法就是錯位相減法。
比如5/11的迴圈部份是45，就給5/11乘上100讓它小數點移2位，然後和5/11相減，迴圈部份就沒啦！效果立竿見影：
觀察一下上式規律，我們就可以打造出「純迴圈小數化分數」的萬能鑰匙了：
好了，現在就用這把鑰匙，把1/49變成迴圈小數的形式：
1/49的分母49的因數，既沒有2，也沒有5，判斷1/49一定是純迴圈小數，所以可以套用這把萬能鑰匙，把1/49寫成這樣的分數形式：\frac{1}{49}=\frac{k_{1}k_{2}k_{3}...k_{m}}{10^{m}-1}
四、歐拉～o了？！（難度：★★☆☆☆）
剛剛我們已經得到了： \frac{1}{49}=\frac{k_{1}k_{2}k_{3}...k_{m}}{10^{m}-1} 。
為了讓式子更簡潔，我們來把這個式子變個樣：
10^{m}=49\times{k_{1}k_{2}k_{3}...k_{m}}+1
這時候，就可以發現，這個式子是在說： 10^m除以49余數為1 ，即： 10^{m} mod49=1
我當時就胎動了一下，感受到了歐拉定理的召喚，趕緊把式子寫成：
10^{m}\equiv1(mod 49) ，即10^m與1對模49同余
很快啊！我趕緊和歐拉定理對接，歐拉定理長這樣：
a^{\varphi(n)}\equiv1(modn) ，即 a^{\varphi(n)}\ 與1對模n同余
你看看！前面那式子是不是和歐拉定理親生的一樣！
眼看就順產成功了，還楞著幹啥呀，趕緊把n=49代到歐拉函式\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})(1-\frac{1}{p_{3}})...(1-\frac{1}{p_{k}}) 裏！
\varphi(49)=49(1-\frac{1}{7})=42
我當時一看到42就以為哦了完事了，畢竟前面我的大屏小算盤算出了m也的確是42沒錯。
然後我想當然地以為m= \varphi(n) ，準備文章收尾的時候，突然感到不對勁：
如果迴圈節長度 m=\varphi(n) ，根據歐拉函式特性當n為質數時 \varphi(n)=n-1 ，但尼瑪1/3的迴圈小數位顯然是1不是2啊！！！！！
我這時候慌了，趕緊翻了下這個問題下的其它回答，看到有幾個提到結論是m是 \varphi(n) 的因數，再一算，n為質數43的時候， \varphi(n)=43-1=42=\varphi(49) ，也就是說1/49和1/43的歐拉函式都是42，但1/43的迴圈節長度不是42，而是21！我當時就楞了，哪裏錯了？
嗯……我老實交代，上面那個問題居然讓我想了2天，因為我誤以為是前面萬能鑰匙那一步m設得有問題，驗算了n遍，我以為我是傻，後來我才突然發現，我是瞎……
我竟然看著 10^{m}\equiv1(mod 49) 和 a^{\varphi(n)}\equiv1(modn) 想當然地以為 a^{42}=10^{m} ，但事實是 a^{42}\equiv10^{m}\equiv1 (mod49)
這兩個式子意思天差地別！前者 a^{42}=10^{m} 意味著m只有唯一解42，後者 a^{42}\equiv10^{m}\equiv1 (mod49) 意味著m的解不止一個，即m可能為42因數中的任何一個，m為1、2、3、6、7、14、21、42的其中一個！
所以光用歐拉定理還是不能完全確定m的值啊！！
偏偏這個42的因數還特別多，煩死了！！！（TAT），怎麽辦啊！！！列舉法我是拒絕的！！！更可惡的是這個問題看起來貌似極其簡單……
五、冒險越來越深入了……（難度：★★★☆☆）
高能預警：這段的難度主要在於術語理解，邏輯是很簡單，難度相當於中國人看美國八卦報紙，你英語好看起來很容易，都是家長裏短的破事，你英語菜看起來不知所雲以為是什麽高大上的東西。
溫馨提示：這段對沒有數學基礎會有難度，可以直接跳到六，六是真刺激。
最終我又花了1天時間現啃了一堆資料，就硬啃，最終終於明白事情如此簡單：
我要求的m，被稱為「10模49的階」。
抽象吧？不準下車，車門已經焊死了，你就陪陪我走到底吧！我這3天簡直就像在黑暗裏獨自前行，永遠不知道下一個坑在哪裏！
嗯，回到剛剛那句話，「10模49的階」，你就當閱讀理解做，這其實不是一個數學題，而是一個語意瘋狂套娃的腦筋急轉彎！
「模「沒什麽好說的，就是取余數，至於這個」階「是什麽，真得好好解釋下：
對於歐拉定理 a^{\varphi(n)}\equiv1(modn) ，當a和n互質（這句條件等價於1/n為純迴圈小數），此時滿足 a^{x}\equiv1(modn) 的x存在最小正整數解，這個x稱作a模n的階，並且這個階要麽等於 \varphi(n) ，要麽是 \varphi(n) 的因數。
別慌，這句話的關鍵詞就兩個字「因數」。這足以一半解答了我們的疑惑。前面我們發現，1/49和1/43的歐拉函式同為42，但1/43的迴圈節長度為21，本質是因為迴圈節長度並不等於歐拉函式的值，而是這個值的因數，也就是說，目前的全部推理，只能確定它倆的迴圈節長度為1、2、3、6、7、14、21、42的其中一個，只不過1/49的迴圈節長度正好落在了最大值。
那麽問題來了，這「階」怎麽求呢？哎，這時候又必須要談「原根」：
若a模m的階等於φ(m)，則稱a為模m的一個原根。
這句話對於大多數人來說應該還是天書，但其實數學證明很多時候就是顛來倒去說同一件事。
可以肯定的是，10是模49的一個原根，且它的階正好就是 \varphi(49)=42 ，所以1/49的迴圈節長度是42。
那麽問題來了，有什麽 \varphi(n)=42 ，階卻不是42的n呢？
因為 10 不是 43 的原根，所以 10模43的階不是42，是21。
至於原因，我已經在開頭給出的連結中非常詳細解答了，歡迎大家閱讀！！
六、後記
因為我是業余學習的數學，數論也是因為覺得這個 1/49 的問題有趣，臨時學的
所以一開始我幾乎沒有任何知識儲備，甚至天真地以為對於任意正整數 x ，人類應該已經有一個確定的什麽函式 f(x) 可以無需列舉就能得出 1/x 的迴圈節長度，但到處都搜不到答案，
於是我就開始「閉門造車」，研究了很久，一直發現沒有結果，這個過程非常煎熬
最終透過自己持續不斷的思考，終於發現這個問題最終指向了一個終極難題：大數分解，本質上觸及了黎曼猜想（關於這一點，我在開頭給出的連結也詳細解答了）
——嘻嘻，那我解不出也是理所應當的嘛！
這樣的經歷給我帶來非常神奇的體驗，以下是當時的心情記錄：
……我就想辦法自己找這個函式，因為我感覺這個問題看起來極其簡單，詭異的是我研究了一整天都沒找到辦法……我仔細翻看了這個問題下的所有答案，竟然沒有人能解答我的問題。
難道……是我的問題太簡單了嗎？
我呆呆地寫了十頁紙，反反復復驗算，希望不斷被點亮、熄滅、點亮、熄滅，我逐漸感嘆自己是不是智商不配碰數學，這麽簡單的問題，算不出來一定是因為我太笨了……
我很明顯感覺到自己在一個怪圈裏打轉死都出不去。這種感覺非常恐怖，就好像在一片漆黑的森林裏尋找回家的路，走了很久發現自己還在原地，感覺永遠沒有出頭之日，然而心底卻又有一個聲音不停和我說，你再撐一下就到家了！
最終，我還是放棄了，我承認自己不行，於是拿手機刷了很久亂七八糟的東西放松，然而我滿腦子都是那個問題，根本揮之不去，於是我開啟電腦不停換關鍵詞搜，我先是在一篇小論文看到了一個叫做Artin猜想的東西，我突然意識到了什麽，讓我喜出望外，但那也不是我要的的東西，我繼續不停檢索，終於突然搜到了「最小正原根上界問題」，我感覺希望之光又被點燃，趕緊看下去：
華羅庚於1942年套用狄利克雷特征函式的概念及三角和的估值方法，在估計最小正原根的上界方面，得到了很好的結果，他證明了：g(p)<2^r*p^(1/2)，其中r是φ(p)=p-1的不同質因數的個數。
1959年，王元證明了g(p)=O(p^(1/4+ε))。
（可能我沒有找到最前沿的資料，但這個問題似乎真沒有完美解決，求大佬給我一個痛快）
我瞬間站了起來，我和我老婆說我竟然自己發現了世界級的數論難題！
我老婆正在忙她的畫，似乎一下子沒明白我在說什麽。
我就和她說：「可能你不知道我在說什麽，但我依舊想和你傳達我的喜悅。」
我老婆就像往常一樣誇我：「老婆太強了！」
盡管我此時可以為我的小聰明歡呼，但事情卻細思恐極……
我，追隨著一只1/49的美麗蝴蝶，等我撲到它，又出現一只蝴蝶1/43，這時我發現剛剛抓到的1/49蝴蝶又逃跑了，我就一路追過去，越來越累，卻還是不停跑，等我反應過來才發現，四周早已漆黑一片，我努力尋找人的蹤跡，找了好久好久，才看到有人立了一塊牌子：「恭喜你到達邊界，我們都沒有走出去，你想再挑戰一次嗎？」
我的直覺告訴我趕快跑，不要在這個地獄一樣的邊界逗留！我一邊跑，周圍的風景一邊回溯，一群質數的蝴蝶開始飛舞，一會兒組成最小原根上界猜想，一會兒組成Artin猜想……一會兒又是大數分解難題，一會兒又是黎曼猜想……
這玩意不是胎教，這玩意有毒啊啊啊！！！！
小惡、收刀入鞘、全身而退吧！！
突然間，我放下執著，一切都恢復了往日的平靜。最近缺乏睡眠的我，只感覺渾渾噩噩，一想起這三天的經歷，宛如做了一個荒唐的夢。
……恐怖如斯，不可名狀！起點如此簡單，只不過是自然數而已，並且我的每一跨步都不大，卻只消五步就踏到了學術的邊界……這種空間的失控感，簡直詭異至極！
ho！原來數論就是數學的五步蛇！！！23333
～～ ★壓壓驚：傳統美德之 文末福利 ★ ～～
以下是我寫這篇文章的內心戲：
總之，這次神奇的經歷，讓我與數學結下不解之緣
我決定投入更多的時間學習數學
目前在蝸牛般自學數學分析和抽象代數，我對這兩個分支非常感興趣
在學習過程中的任何見解，我都會無條件地分享給大家，共同進步～～
