講狹義相對論首先是繞不開電動力學或者起碼說電磁學的，只在運動學裏打轉轉就有點「玄學」了。
按照日常經驗，如果一個物體A速度為 \boldsymbol{u} ，另一個速度B相對A的速度為 \boldsymbol{v} ,那麽B的速度自然是 \boldsymbol{v}^{\prime}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} 。。。這能有啥不對，牛頓等科學巨匠也是這麽認為的。直到19世紀，電動力學得到飛速的發展。
事情是這樣的，我們知道真空中兩個距離為 r 靜止的電荷 q_1,q_2 之間的作用力即庫侖力滿足
F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}
然後我們知道真空中一段長為 l 電流為 I_1 的導線，受距離 r 處一條與之平行的無限長電流大小為 I_2 導線的作用力滿足
F=\frac {\mu_0} {2\pi}\frac{I_1 I_2}{r}l
然後我們知道電磁感應，電生磁，磁生電。
好依據以上這些「靜止」場景下壓根就沒有所謂高速運動的影子的實驗規律，馬克士威等人一番操作，預言了電磁波的存在，並且從這些靜止實驗就可以測得的物理常數中 [1] 得出真空中電磁波的速度 c=\frac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} ，而1849年費索透過旋轉齒輪法測得的光速 3.13\times10^8m/s ，和這裏計算出來的值差不多，於是自然地猜測光就是電磁波，以下電磁波速度稱光速。
這裏註意一點，各個方向的光速都是這個速率，這也很自然，物理規律的空間對稱性嘛。
到這裏矛盾就來了，假設一個參考系中具有各向相同的光速 c ，那麽對於同該參考系相對速度為 \boldsymbol{v} 的另一參考系，顯然就不可能有各向相同的光速，其中，同運動方向相同的方向是 c+v ，相反的則是 c-v ，垂直的是 \sqrt{c^2+v^2} 等等。
那麽是地球足夠特殊才能得出各向相同的光速嗎，這是容易排除的，雖然上文中我用的是靜止，可眾所周知，地球繞著太陽轉，太陽繞著銀河系中心轉動。換言之，我們腳下的地球怎麽看也不可能具備物理上的特殊性，是個「天選之地」吧。
那麽理論有沒有問題呢，或者說這個漂亮的理論只是在某個特殊的參考系中成立的，在其他參考系需要修正呢？但麥可遜莫立實驗，確確實實得出了光各向同速。於是大家就開始思考怎麽打修補程式，怎麽讓電磁規律變得普適，或者說看上去普適。
這裏有很多人已經快摸到門道了，譬如龐加萊，也有勞侖茲，他假設電磁規律只在某個特殊的參考系「以太參考系」成立，但是當我們相對於這個「以太參考系」的運動導致了時空變化，也就是勞侖茲變換，所以我們做實驗測不出來相對速度。
但最終是愛因史坦的【論動體的電動力學】橫空出世，它以光速不變為前提，不需要所謂的「特殊參考系」，而使不同參考系之間的變換規律就是勞侖茲變換。這個理論不引入所謂的「天選之地」這樣超然的概念，更具有對稱性。（當然，物理規律還是需要實驗檢驗的，這裏不作展開）。
關於如何得到光速不變的變換，有很多種方法，下面這個方法從我們熟悉的空間對稱性出發：
看二維情形，眾所周知，旋轉變換，能夠使長度保持不變也即 \left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2 保持不變。
\begin{cases} x^{\prime}&=&x\cos{\theta}-y\sin{\theta}\\ y^{\prime}&=&x\sin{\theta}+y\cos{\theta} \end{cases}
那麽如果我們要令 \left(x_1-x_2\right)^2-\left(y_1-y_2\right)^2 保持不變呢，這也容易，我們只要上式的正余弦換成雙曲正余弦，即從 \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1 變成 \cosh^2{\theta}-\sinh^2{\theta}=1
\begin{cases} x^{\prime}&=&x\cosh{\theta}-y\sinh{\theta}\\ y^{\prime}&=&-x\sinh{\theta}+y\cosh{\theta} \end{cases}
那光速不變呢，考慮使 \left(c\Delta t\right)^2-\Delta x^2 保持不變，這樣 \left(c\Delta t\right)^2-\Delta x^2=0 即光速運動經變換後仍是光速。
\begin{cases} ct^{\prime}&=&ct\cosh{\theta}-x\sinh{\theta}\\ x^{\prime}&=&-ct\sinh{\theta}+x\cosh{\theta} \end{cases}
雖然說到這我們已經得到使光速不變的變換，不過變換和參考系相對速度 v 的關系尚不明晰：先有速度變換公式：\frac{u^{\prime}}{c}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x^{\prime} }{\mathop{}\!\mathrm{d} ct^{\prime}}=\frac{-\sinh\theta \mathop{}\!\mathrm{d} ct+\cosh \theta \mathop{}\!\mathrm{d} x}{\cosh\theta \mathop{}\!\mathrm{d} ct-\sinh \theta {\mathop{}\!\mathrm{d} x}}=\frac{\frac{u}{c}-\tanh\theta }{1-\tanh\theta \frac u c} ,也可以寫成 \beta^\prime=\beta-\theta,\tanh\beta=\frac u c,\tanh{\beta^\prime}=\frac {u^\prime} c ，如此也很容易同旋轉場景對照起來。
若新參考系相對舊參考系的運動速度是 v ，即 u^\prime=0 時, 有 u=v ，應有 \tanh{\theta}=\frac v c ,即 \cosh \theta=\frac 1 {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\sinh \theta=\frac {\frac v c} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 。
這裏有一個值得註意的點，在經典力學或者說伽利略變換那裏，時間間隔 \Delta t 不隨參考系變換改變。而在狹義相對論裏，如前所述 \Delta s ^2=\left(c\Delta t\right)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 不隨參考系變換而改變，也就是說 \Delta s 替代了 \Delta t 的地位。我們也可以寫成微碎形式 \mathop{}\!\mathrm{d} s^2=c^2\mathop{}\!\mathrm{d} t^2-\mathop{}\!\mathrm{d} x^2-\mathop{}\!\mathrm{d} y^2-\mathop{}\!\mathrm{d} z^2 。
實際上，這個不變量也確實在相對論體系下動力學的推演中扮演著關鍵角色。
譬如，我們知道兩點之間直線最短，或者說給定起點和終點 \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1 ，使 \int_{\boldsymbol{x}_0}^{\boldsymbol{x}_1} \mathop{}\!\mathrm{d} s 最小的即是直線，其中 \mathop{}\!\mathrm{d} s^2=\mathop{}\!\mathrm{d} x^2+\mathop{}\!\mathrm{d} y^2+\mathop{}\!\mathrm{d} z^2 。而在四維時空中，有一點小小區別的是 \int_{\boldsymbol{x}_0}^{\boldsymbol{x}_1} \mathop{}\!\mathrm{d} s 取得最大，或者使 -\int_{\boldsymbol{x}_0}^{\boldsymbol{x}_1} \mathop{}\!\mathrm{d} s 取得最小的是直線。而這四維時空中所謂的直線，刻畫的是勻速直線運動——這正是牛頓第一定律。
狹義相對論，把真空中的經典電磁理論講清楚了，但是電磁理論帶來的不止這些。上面的沖突本質上是什麽，是一個非超距作用同經典的伽利略相對性原理（也就是簡單的速度疊加）的矛盾。假設一個作用是非超距的，也就是它有一個有限的傳播速度，那麽另一個參考系就不是這個速度了。特別是，由空間對稱性得出的各向相同的傳播速率，在另一個參考系下不再具有。
反過來，一旦采用了狹義相對性原理，首先，超距作用的所謂同時性會被輕易得破壞掉。其次，狹義相對論所表現出來的時空對稱性不應僅僅是光獨有的物理性質，其中的物理常數光速不應僅僅是光的速度。
這就不由得讓人們把目光轉向另一種交互作用——萬有重力。按照狹義相對論的要求，萬有重力似乎也應該納入有限傳播速度的範疇，但是非超距的萬有重力可不僅僅只是同伽利略相對性原理有矛盾。
重力一旦不是超距的，由平方反比律推出的圓周運動可就不復存在了。對於經典的電子繞原子核模型的一個否定，是圓周運動的電子會放射線能量，這條同樣適用於經典重力身上。並且光速雖然快，可在重力的作用尺度面前就是個弟弟，太陽到地球光就需要走8分鐘。因此根據拉格朗日等的計算，即使重力不是超距的，其傳播速度也應遠遠大於光速，否則星體軌域無法穩定存在。
以上的這些問題，說明經典的重力理論雖然同庫侖力一樣具有平方反比的形式，但它並不像電磁交互作用一樣能直接同狹義相對論相融合。而廣義相對論正是為解決這個狹義相對論的有限速率和重力看似所需要的「超距內容」的矛盾而誕生的。
讓我們回顧拋物運動：
m\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{g}
約去 m ，得 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{g} 。。。到這裏，就變成了純粹的運動學問題。
但是盡管我們約去的都是 m , 但在牛頓力學那裏，左邊的 m 來自於牛頓第二定律 \boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a} ，而右邊則來自於經典重力 \boldsymbol{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{\boldsymbol{r}} 。換言之，兩者有著不同的物理含義，我們稱之為慣性品質、重力品質。
在牛頓力學裏，慣性品質等於重力品質。。。
但是，換個角度想，我們可以認為 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{g} 才是更本質的一個方程式，而把它回代到牛頓力學體系裏，自然產生了慣性品質等於重力品質的要求或者說「巧合」。或者說，我們把以下 這個性質 看成是重力場的本質：初始運動狀態相同，就會有相同的運動，而與物體的品質無關（也就是純粹的運動學問題）。
這個性質，慣性系和非慣性系也都具有。從這個角度，我們可以認為在忽略重力場的不均勻性的情形下，非慣性系和重力場是等效的。因此，在宇宙中「自由」運動的物體局部譬如空間站，盡管可能有著復雜的運動軌跡，實際上卻是個比地表還要理想的慣性系。而我們也可以用自由落地來模擬——現實中也確實是這麽幹的。
而如果我們再沿著狹義相對論的思路分析非慣性系，具有這樣性質的場可以由時空的變化來刻畫。
即\mathop{}\!\mathrm{d} s 不再滿足 \mathop{}\!\mathrm{d} s^2=c^2\mathop{}\!\mathrm{d} t^2-\mathop{}\!\mathrm{d} x^2-\mathop{}\!\mathrm{d} y^2-\mathop{}\!\mathrm{d} z^2 。這樣，重力場中，牛頓第一定律不再成立，而物體在重力場中的「自由」運動即沿著變化後時空的測地線——譬如在地表這個曲面上，從赤道上一點到該點東1000公裏再向北1000公裏的點，其最短路徑並不是向東北45°，更誇張的例子從赤道上一點向東跨越90經度，再向北90跨越緯度，沒錯這是北極，那麽到北極去直接往北走不就完事了。。。而這一最短路徑就是地表這個曲面的測地線（實際上這也是測地線這一名稱的由來），只不過在這裏如前所述，這個測地線不是最短而是最長。
當然，如果說狹義相對論還只是線性變換，那麽這裏就涉及到更進一步的數學工具——微分幾何等等。因此這裏不做進一步地展開了。
愛因史坦於1907年靈光乍現後，經過8年的長跑於1915年完成了廣義相對論（當然中間有一段時間他主要在折騰量子理論），確切地說，是得出愛因史坦方程式，也就是重力理論的另一部份，物體（源）和其「引發」的重力場的關系。並成功解釋了經典重力理論關於水星近日點進動的誤差。
這其間還有個插曲，在愛因史坦完成了理論的框架和大部份工作後，大數學家希爾伯特在聽了愛因史坦的演講後，最終於1915年11月20日先推出了愛因史坦方程式，而愛因史坦則晚了五天。這也造成兩人之間一度有點小緊張。不過希爾伯特承認愛因史坦是廣義相對論的唯一創始人「哥廷根街上的孩子，都比愛因史坦更懂四維幾何，但發現相對論的仍然是物理學家。」。愛因史坦也於一個月後提出和解。
參考
- ^ 註：容易看出以上物理常數的數值本身同物理單位的大小有關，譬如在2019年前的國際單位制中，是規定μ_0來確定電流單位的,而2019年後，改為規定電子電荷e，這樣一來μ_0就成了需要實驗測量的量，另人們規定光速來確定長度單位了。
