不要總是糾結於小數的無限迴圈還是不迴圈。
小數只是數的一種表現形式而已，並不是數的本質。比如你題目中用來舉例的1/17。你別看它寫成小數是亂七八糟一大堆，那不過因為我們所用的小數是十進制數的緣故。如果換成是17進制的小數，不就寫成0.1了嘛！同理，65/17也就寫成了 3.E（用A-G表示10-16）！是不是一點都不亂？你想想，歸根結底是由於人類碰巧長了10跟手指頭，所以我們才用了10進制。若換成是另外一個星球上的智慧生命，長了三只手、21根手指的，人家可能就用21進制數呢。Get it?
所謂有理數，就是能寫成 \frac{m}{n}(m\in Z, n \in Z, n\neq 0) 的數。我們遇到一個數，不能這麽表示的，那它就不是有理數。
好比我們可以證明 \sqrt{2} 不是有理數。
如上圖，根據畢達哥拉斯定理，
\begin{align} r^2 =& 1^2 + 1^2 \\ r =& \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \end{align}
我們假定r是有理數，那麽它就應該可以寫成整數比上非零整數的形式。又因為所有的分數都可以化簡為互質數的比。我們就可以把 r 寫成分子分母互質的最簡分數 m/n。
\begin{align} & r = \frac{m}{n} \\ & r^2 = \frac{m^2}{n^2} = 2\\ & m^2 = 2n^2 \\ & \because 2n^2 為某整數的二倍，因而必為偶數\\ & \because 奇數的平方為奇數，偶數的平方為偶數\\ & \therefore m 為偶數\\ & 令 m = 2k , 則 k 必為整數\\ & 2n^2 = (2k)^2 = 2^2k^2 = 2\cdot 2k^2\\ & n^2 = 2k^2\\ & \therefore n 也是偶數\\ &\therefore m 與 n 不是互質關系\\ & \therefore r 不是有理數 \end{align}
\sqrt{2} 不是有理數，然而如上圖所示，它又能透過尺規作圖法被畫在數軸上（C點）。也就是說，他在數軸上的位置是 明確 的。
你之所以糾結於沒完沒了的小數點後的數位，是因為沒有認識清楚，小數本質上是就是一種變了形的分數。
a.bcdef... = a + \frac{b}{10}+ \frac{c}{100}+ \frac{d}{1,000}+ \frac{e}{10,000}+ \frac{f}{100,000}...
有理數的和還是有理數。
所以根本上，小數就不能（或者不能確切地）表示無理數。我們硬要把無理數，比如\sqrt{2} ，寫成小數的形式，寫出來的就只能是近似值。
既然一個無理數在數軸上的位置是明確的，我們就能找到略大或略小於它的有理數。有理數是可以寫成小數的，借助逼近它的小數，我們就能夠直觀地感知到它的值大約是多大。
你看，分數31/71 和 137/311 究竟誰大於誰， \sqrt{731} 和27又是誰大誰小，是不是很難判斷？換成小數，\frac{31}{71}\approx0.437,\frac{137}{311}\approx0.440,\sqrt{731}\approx27.037 , 是不是就一目了然了！
我們社會的各個領域中都普遍使用小數，就是因為它直觀。但是，正如我一開始所說的那樣，不要把形式跟本質搞顛倒了。31/71 只是約等於 0.437，它的本質是71份裏取31份； \sqrt{2} 只是約等於1.414，它的本質是面積為2的正方形的邊長。
