如何「破譯」清朝的微積分課本？

前兩天看到了網上流傳的清朝的微積分課本中的幾頁，其中的所有數學運算式都是用中文書寫的。雖然整個過程不忍直視，但還是感覺蠻有趣的。於是我打算寫篇文章轉譯一下這幾頁。 ^{[1] [2]}

下面我們先來看到第一頁：

請您上眼。乍一看大家肯定覺得：這都啥啊？這樣的公式好醜，怎麽能記得住呢？而且這裏面居然還有完全不認識的字？比如一個雙人旁一個天念啥？

下面我就要使用魔法將這些醜醜的公式轉譯成能看的懂的形式了。

在轉譯之前，我們要明確的一個 大原則 是：在清朝， 「分數」的「分子」是分母，「分母」是分子 。也就是說， 如果看到「分數」，則我們取它的倒數就可以得到現代意義下的分數 。

首先映入眼簾的是：

戍=天^{天}\tag{1}

這明顯是一個函式，它轉譯成英語就是：

y=x^x.\tag{2}

啊，看著舒服多啦～這道例題提到了「...求其微分之式，則可依blabla...」。害，無所謂依啥了，我們自己就可以搞定。求 (2) 這個函式的微分函式比較容易的。首先將 x^x 覆寫一下：

x^x=\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right).\tag{3}

進而成立：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( x^x \right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right)\right)=\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right)\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right)=x^x\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right).\tag{4}

即：

{\mathrm{d}}y=x^x\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right)\,{\mathrm{d}x}.\tag{5}

與：

做比較可以得到以下破譯密碼：

第一個公式的破譯工作就完成啦～很順利是不是！但是，下一個公式就很難破譯了。沒錯，就是它：

這個公式，堪稱我破譯工作中最可(**)愛(**)的一個。先不管天啊，地啊啥的。從剛才的破譯密碼中我們得知的資訊是 雙人旁 =\mathrm{d} ，於是問題就出現了這裏面有 \mathrm{d}戍 ， \mathrm{d}地 以及 \mathrm{d}天 。咦？這麽快就跳到全微分啦？但仔細不看不對啊，這跟全微分完全不沾邊啊。於是我推測，這不是全微分，而是剛才例題的推廣，因為我在下面的結果中看到了天的地次方： 天^{地} ：

此處的天和地不能再理解為 x 和 y 了，而是應該理解為 f\left( x \right) 與 g\left( x \right) ，說白了，就是對函式：

y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right).\tag{6}

求導（天^{地} 這個表達簡直了。。。哈哈哈哈哈哈哈）。

像破譯第一個公式一樣，這裏我們如法炮製即可。首先將 f^{g\left( x \right)}\left( x \right) 覆寫一下：

f^{g\left( x \right)}\left( x \right)=\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right).\tag{7}

進而成立：

\begin{array}{ll} \display style{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\right)} & \display style{=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right)\right)}\\ & \display style{=\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right)}\\ & \display style{=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right).} \end{array}\tag{8}

即：

{\mathrm{d}}y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right)\,{\mathrm{d}x}.\tag{9}

將式 (9) 進一步化簡可得：

{\mathrm{d}}y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(\ln\left(f\left( x \right)\right)\,{\mathrm{d}g}+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,{\mathrm{d}f}\right).\tag{10}

現在我們將 y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right) 除到左邊之後與之前所提到的 大原則 一起可得：

\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{g\,{\mathrm{d}f}}{f}+\ln\left(f\right)\,{\mathrm{d}g}.\tag{11}

將式 (11) 與：

做比較可得：

這樣第一頁我們就完全破譯啦！下面開始第二頁的破譯～

這一頁的破譯工作會異常輕松。首先我們看到了「積分」這個字眼，並且他說「啥啥（就是那個怪怪的公式），要必為簡式」才可求其積分。所以我們不妨先來看看：

這是個啥？

由之前所總結的破譯密碼可知，天一定代表一個「變量」。而且我們還知道長得像垂直符號的那個符號等價於加法，因此我們推測：

而甲，乙，丙...啥的自然表示的就是常數 a,\,b,\,c... 等等。至於寅卯午巳這些字，如果你願意，可以定義為 \alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta 等等，它們也都表示常數。因此，我們可以將其破譯為（指數上註意 大原則 ）：

x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x\left(a+b\cdot x^{\beta}\right)^{\frac{\delta}{\gamma}}.\tag{12}

同理，我們可以將：

破譯為（指數上註意 大原則 ）：

x^{\alpha+\frac{\beta\cdot\delta}{\gamma}-1}\,\mathrm{d}x\left(a\cdot x^{-\beta}+b\right)^{\frac{\delta}{\gamma}}.\tag{13}

聰明的你一定發現了：

表達的就是不定積分的分部積分法：

\int u\,\mathrm{d}v=u\cdot v-\int v\,\mathrm{d}u.\tag{14}

破譯密碼為：

最後是第三頁：

有了之前兩頁的經驗，相信這一頁大家一定得心應手啦。在這一頁中，所有的漢字數位與阿拉伯數位的含義是一致的。而天，地，人（這應該是人吧）表示的都是變量。因此我們可以設：

天:=y,\quad地:=z ,\quad 人:=x.\tag{15}

因此：

表示（註意 大原則 ）：

\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{x-c}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\left( x^{\frac{1}{2}}-c\cdot x^{-\frac{1}{2}} \right)\,\mathrm{d}x.\tag{16}

而：

表示（註意 大原則 ）：

\frac{y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-2\cdot c\cdot x^{\frac{1}{2}}+C.\tag{17}

顯然，式 (17) 是式 (16) 的一個原函式。而丙上面加一個點表示的是積分常數 C ，與普通的丙表示的 c 是不一樣的（二丙，看起來像麻將）。

現在讓我們看到最右邊的：

這表示的顯然是（註意 大原則 ）：

\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\right)^2=\frac{4}{\sqrt{a}}\cdot\left(\sqrt z+c\right).\tag{18}

我一度認為左邊是二階導數。。。後來一想不對，如果是二階導數的話「分母」上的二應該在雙人旁後面。因此：

表示的是（註意 大原則 ）：

\frac{2\cdot \mathrm{d}y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{c+\sqrt{z}}}.\tag{19}

然後後面說可以將 c+\sqrt{z}:=x ，進而：

表示的就是（註意 大原則 ）：

\frac{y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{2}{3}\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{3}{2}}-2\cdot c\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{z}-2c \right)\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{1}{2}}+C.\tag{20}

參考

1. ^ https://www.bilibili.com/video/BV1pU4y1T7bt?from=search&seid=6680661053013392242&spm_id_from=333.337.0.0
2. ^https://www.youtube.com/watch?v=BA3f_-J_Gmc&t=408s