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一個人掉進98%濃硫酸中24個小時後毫發無傷的機率的倒數能否碰瓷葛立恒數?

2024-12-07心靈

結論:不可能,因為這個倒數依舊是普通指數級別的。

這裏只考慮身體的脫水反應。化學反應速率 R 可以透過 \bold{Arrhenius} 方程式估計: R = A e^{-\frac{E_a}{RT}}\\ 其中 A 是頻率因子, E_a 是活化能, R 是瓦斯常數, T 是溫度。在濃硫酸中,反應速率 R 很高,假設局部皮膚單位面積每秒分解的機率為 q ,對全身面積 A \approx 1.8 \, \mathrm{m}^2 的分解機率可近似為 1 - (1-q)^n ,其中 n 是皮膚分子數。不難發現,由於單位時間反應機率 q 已經接近 1 ,整體機率趨向於 1.

現在設一個人的皮膚在 1 秒內毫發無傷的機率為 p. 如果每平方公釐的單位皮膚被腐蝕的機率是 r, 且單位面積被完全破壞即導致全域失敗,那麽有 p \approx (1 - r)^{N}, 其中 N 是皮膚的單位面積數量。

假設題主是一個身高175厘米,體重70千克的成年人,根據 \bold{Du\;Bois} 公式, \mathrm{BSA} = 0.007184 \times 175^{0.725} \times 70^{0.425} \approx 1.8 \, \text{m}^2. 眾所周知,單位面積一般是指皮膚的每平方公釐的面積,假設我們要將面積細分為每平方公釐,有 1\mathrm{m}^2=10^6\mathrm{mm}^2. 若皮膚總面積是 1.9 \, \text{m}^2, 則皮膚的單位面積數量為 1.8 \times 10^6 \, \text{mm}^2.

若 r \approx 0.01, 則 p = (1 - 0.01)^{1.8 \times 10^6}. 關於如何計算這個式子,我用Python試了一下,得到的是0.0。嗯,好像精度不夠。只能使用 \bold{Taylor} 展開了 p \approx e^{-1.8 \times 10^6 \times 0.01} = e^{-18000}.

考慮指數衰減公式: P(t) = P(0) \cdot e^{-\int_0^t \lambda(s) \, ds},\\ 其中 P(t) 是經過時間 t 後的毫發無傷的機率, P(0) 是初始機率(這裏我們已經知道 P(0) \approx e^{-18000} 這一結果了), \lambda(s) 是時間 s 時的腐蝕速率。假設腐蝕速率 \lambda(s) 是時間的函式,且隨時間的增加而增加(隨著組織逐漸被腐蝕,硫酸對皮膚的腐蝕速率增加)。假設腐蝕速率隨著時間 s 的推移成指數增長,則 \lambda(s) = \lambda_0 e^{\alpha s}, 其中 \lambda_0 是初始腐蝕速率, \alpha 是腐蝕速率增長的常數。代入 \lambda(s) 到指數衰減公式中,並計算積分: \int_0^t \lambda_0 e^{\alpha s} \, ds = \frac{\lambda_0}{\alpha} \left( e^{\alpha t} - 1 \right).\\ 於是毫發無傷的機率為: P(t) = P(0) \cdot e^{-\frac{\lambda_0}{\alpha} \left( e^{\alpha t} - 1 \right)}.\\ 已知 P(0) \approx e^{-18000}, 則: P(t) = e^{-18000} \cdot e^{-\frac{\lambda_0}{\alpha} \left( e^{\alpha t} - 1 \right)}.\\ 題主要求出經過24小時(86400秒)後毫發無傷的機率,所以代入 t = 86400 , 易得: P(86400) = e^{-18000} \cdot e^{-\frac{\lambda_0}{\alpha} \left( e^{\alpha \times 86400} - 1 \right)}.\\ 後面大家可以自行發揮,選擇一些合理的常數。比如假設 \begin{cases} \lambda_0 &= 1&(\text{單位為每秒})\\ \alpha &= 0.01&(\text{表示腐蝕速率隨著時間指數級增加})\\ \end{cases}\\ 計算 e^{\alpha \times 86400} 這個值: e^{0.01 \times 86400} = e^{864} \approx 1.35 \times 10^{374}.\\ 並代入到毫發無傷的機率公式中: P(86400) = e^{-18000} \cdot e^{-\frac{1}{0.01} \left( 1.35 \times 10^{374} - 1 \right)}= e^{-18000} \cdot e^{-1.35 \times 10^{375}}\\ 毫發無傷的機率的倒數為: R = \frac{1}{P(86400)} = e^{18000 + 1.35 \times 10^{375}}.\\ 最後搖個人過來進行大數單位內的放縮 @739085 ,發現這個倒數連指數塔都過不了。


總結:拿機率來碰瓷大數的,並沒有使用運算層級上的叠代,而只是疊加了幾層乘法和指數而已,沒什麽了不起的


P.S.:題主的這道題非常適合當作理綜題來做,因為解答需要橫跨物化生三門學科。