消費者最佳化互推關系：
消費者的兩種最佳化問題均和效用函式、預算約束有關：
① 左內側： 效用最大化問題 （UMP）
\display style \max_{ x_1,x_2} \ u(x_1,x_2)\ \ {\rm s.t.}\ \ p_1 · x_1+p_2·x_2 ≤ w拉格朗日函式為：
\mathcal L = u(x_1,x_2)-\lambda( p_1 · x_1+p_2·x_2 - w)分別對 x_1,x_2 求得兩個一階條件，做比消去 \lambda 得到 x_1,x_2 的關系式。
然後代入預算約束得 瓦爾拉斯需求函式 x_i(p,w) ：
然後將所得運算式代回 u(x_1,x_2) ，消去 x_1,x_2 得到 間接效用函式 v(p,w) 。
② 右內側： 支出最小化問題 （EMP）
\display style \min_{x_1,x_2} \ p_1 · x_1+p_2·x_2 \ \ {\rm s.t.}\ \ u( x_1,x_2) ≥ u拉格朗日函式為：
\mathcal L = p_1 · x_1+p_2·x_2-\lambda( u( x_1,x_2)- u)分別對 x_1,x_2 求到兩個一階條件，做比消去 \lambda 得到 x_1,x_2 的關系式。
然後代入效用函式得 希克斯需求函式 （補償需求函式） h_i(p,u) ：
然後將所得運算式代入下式（將 w 符號替換為 e ），得到 支出函式 ：
e(p, u) = p_1h_1+ p_2h_2③ 左外側： 羅伊恒等式 （Roy's identity），用間接效用函式反推瓦爾拉斯需求函式：
\boxed{\display style x_i(p,w) = - \frac{\partial v(p,w)/\partial p_i}{\partial v(p,w)/\partial w}}④ 右外側：支出函式對價格求偏導，反推希克斯需求函式的公式
\boxed{\display style h_i(p, u) = \frac{∂e(p, u)}{∂p_i}}⑤ 上方： 斯勒茨基方程式 （Slutsky equation），描述斯勒茨基分解
\boxed{\display style \frac{∂h_1(p, u)}{\partial p_2} = \frac{∂x_1( p, w)}{\partial p_2}+\frac{∂x_1(p, w)}{\partial w} x_2(p, w)}⑥ 下方： 對偶性 ， v 換 u ， w 換 e
例 ：道格拉斯效用函式 u(x_1, x_2) = x^α_1 x^{1−α} _2 的間接效用函式為：（推導見例4）
v(p,w) = α^α(1 − α)^{1−α}p^{ −α}_ 1 p^{α−1}_ 2 w與這個效用函式相關的支出函式是：
e(p, u) = (α^{ −α}(1 − α)^{α−1})p^α_1 p^{1−α}_ 2 u
