为什么说连续映射是一个拓扑概念？？

2016-07-15知识

拓扑是一种刻画连续映射的重要方式。为此我们首先看一个命题。

\Large{\bf{Proposition\quad 1:}}

设 (X, d_X) 与 (Y, d_Y) 为两个度量空间。设 f : X → Y 为一个映射。则以下说法是等价的：

(\rm i). f : X → Y 是连续的。

(\rm ii). 对于每个在 Y 中的开集 O ，集合 f^{−1} (O) 在 X 中是开集。

\rm(iii). 对于每个在 Y 中的闭集 C ，集合 f^{−1} (C) 在 X 中是闭集。

命题 1 告诉我们，一个映射 f : X → Y 是连续的，当且仅当开集(闭集)的原像集为开集(闭集)时。现在我们想将这种对连续函数重要的刻画方式重新进行表述。为此我们要使用度量空间上的拓扑 ^[1] ^[2] ：

参考