这个问题用高中知识可以解决，只需要利用对称函数的定义。
一个函数 f 如果关于y轴对称，那么 f(x)=f(-x) ，如果关于原点中心对称，那么 f(x)=-f(-x) 。如果函数对称，但不是关于原点中心对称或者关于y轴对称，咱们可以重新设置坐标原点，或者把函数左右平移和上下平移使得它关于原点中心对称或者关于y轴对称，也就是做变换 g(x)=f(x+a)+b ，把 g 带入上面的两个定义，整理一下，得到函数 f 关于某一点：
轴对称则 f(a+x)=f(a-x)
中心对称则 f(a+x)+f(a-x)=-2b
首先可以看出，最高阶项的次数是奇数的多项式只可能中心对称，是偶数的多项式只可能轴对称，因为随着自变量增大，
f(x)=ax^n+bx^{n-1}+\dots\approx ax^n
而 ax^n 当n是奇数时是中心对称的，当n是偶数是是轴对称的。
下面咱们来看任意一个三次方程：
f(x)=x^3+ux^2+vx+w
可以通过对自变量做一个放缩把最高次项的系数变成1，所以我们忽略了最高次项的系数。上面已经解释了，这个函数只可能是中心对称，把它带入中心对称的定义里得到：
f(a+x)=(a+x)^3+u(a+x)^2+v(a+x)+w=(a^3+3a^2x+3ax^2+x^3)\\ +u(a^2+2ax+x^2)+v(a+x)+w
f(a-x)=(a-x)^3+u(a-x)^2+v(a-x)+w=(a^3-3a^2x+3ax^2-x^3)\\ +u(a^2-2ax+x^2)+v(a-x)+w
二者相加,，合并同类项，得到：
-2b = f(a+x)+f(a-x)=(2a^3+6ax^2)+u(2a^2+2x^2)+2av+2w\\ =(6a+2u)x^2+(2a^3+2a^2u+2av+2w)(*)
这个式子必须对任意 x 恒为0，它是二次的，但是由于一次项为0，所以只有二次项和0次项非0。有两个未知数 a 和 b 待确定。令二次项为0，得到 a=-u/3 ，再令 -2b 等于0次项，就恰好符合条件。所以，任意三次方程是中心对称的。
一般地，假如 f 是 n=2k+1 次多项式，那么它只可能中心对称，展开
f(a+x)+f(a-x) 只有偶次数项，还剩下 k+1 个方程，而咱们调整的参数只有 a 和 b 两个，所以当 k>1 时 (*) 没有恒为0的通解，所以 n=3 就是最高次的恒中心对称的多项式次数。
假如 f 是 n=2k 次多项式，那么它只可能轴对称，展开
f(a+x)-f(a-x) 只有奇次数项，仍然剩下 k 个方程，而由前面的定义，可以调整的参数只有 a 一个，所以当 k<=1 时有通解，所以 n=2 就是最高次的恒轴对称的多项式次数。
