来写一个概率论版本的例子。当然概率论复杂度和抽象度都远无法和范畴相比（范畴学得头秃），但其复杂程度，在普通人日常生活中最经常使用的「买菜用数学」中，大约还是首屈一指的。
一开始，我们只有频数。我们掷骰子100次，51面向上，频率0.51. 由此我们抽象出了概率——让一个事件反复发生，我们猜测它的概率是 p 。当然这件事情的严格证明是大数定律的事情了，至少我们的直观感受是这样的。
既然有了概率测度，我们当然想要用它做一些事情。于是有了古典概型（事件数有限，点集测度）和几何概型（事件数无限）。随后又很自然的推广到了无穷维空间（当然此时理解这件事情需要测度论）——是为随机过程。
连续时间随机过程里，单个事件是一个从时间 t \in \mathbb{R} 到某个空间 V 的函数，并有某些规则约束我们考察的状态空间。（你可能会问，为什么不考察单个函数出现的概率？因为这可是几何概型呀，单个事件发生概率为0）
最简单的连续时间随机过程是一维布朗运动（维纳过程）W_t 。一个典型的维纳过程满足以下4个条件：
这样4个条件可以唯一确定一个随机过程，维纳过程。你可能会期待维纳过程有像高中学过的概率那样简单易懂——但是在随机过程里，这么美好的事情显然是无法存在的。无论如何，我们还是很容易想象这个过程的；给定一个区域（比如说要求在某些 t 的时候必须在某个区间），我们也很容易（相对来说）精确的计算这个概率。
Well，既然维纳过程连续，我们可以形式上对它做微元（感谢评论区两位大大更正），亦即对于一阶可导函数 f(t) ，我们总可以计算 \lim_P \sum_P f \Delta W_t （其中P取遍所有划分），并将其形式上记为\int f \text{d} W_t （分析手段进入了随机过程）。（ @Owen Chen 指出，当 f 是 W_t 和 t 的函数的时候，只需考虑左值求和就好。）同时我们也有
\int_0^t (\text d W_t)^n = \begin{cases} W_t & \text{if } n = 1, \\ t & \text{if } n = 2, \\ 0 & \text{if } n \geq 3. \end{cases}
从而我们可以考察一个含有维纳过程的随机微分方程（伊藤过程）
\text d X = a(X,t) \text d W_t + b(X,t) \text d t .
伊藤定理指出，对于任意一个关于 X 和 t 的二阶连续函数 f(X,t) ，恒有下式成立：
\text d f = f_2 \text d t + (f_1 \text d X + \frac{f_{11}}{2} a^2 \text d t) .
Somehow这个展开很类似于泰勒展开，不过我没有学伊藤定理的证明，所以不敢妄言。
概率最好玩的事情大概就是，（至少我学到现在，）无论我们走了多远，最后都可以回到买菜的这件事上去。这样我们就形成了一个巧妙的对比：高等数学在买菜生活中的实际应用。所以虽然我自身学的是代数，我还是很喜欢和别人讲概率的故事。以下故事具体可以参见这个链接，这里只是简单描述。
Well，现在我们有一只股票的历史价格 X （大家买菜一般还是不会那么较真，不过你把这个价格函数当成大米的售价也是一样思考的）。我们假定股票的波动率 \frac{\text d X}{X} 满足如下维纳方程：
\frac{\text d X}{X} = \mu \text d t + \sigma \text d W_t ，则我们可以解得 \ln \frac{X_t}{X_0} \sim N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})t,\sigma^2 t) （具体证明见上文）。无论如何，我们如果已知了 \mu 和 \sigma ，我们总可以计算出若干时间后的价格期望。从而我们可以对未来某个时间的股票价格进行买卖——期权与期货。期权与期货都是平抑远期风险的重要方法，在日常生活中有大量运用。
（当然对于普通玩家而言，能做的大概就是，知难而退，远离股票，尤其是当你还在用「追涨杀跌」的原始方法的时候。）
另外，作为一个现在刚刚本科毕业的蒟蒻，就来给这位巨巨写个前传好了w
最开始，我们从「两个‘一个苹果’是两个苹果」抽象出了「1+1=2」；随后对乘法逆封闭得到所有有理数，再有戴德金分割得到全体实数，在此不表。
我们将某些分配问题抽象成了方程，比如说一元二次函数的经典例子「销量是售价的一次函数，求售价使总销售额最大化」。由于整数的优美性质，我们着重考察那些整系数多项式方程。很经典的问题是，什么时候这些方程会有根式解？
通过考察一个方程所有根构成的置换群（伽罗瓦群），伽罗瓦对这个问题作出了完美的解答——不仅仅是得出了一般的高次方程不存在根式解，更是知道了一个方程有根式解的充要条件。由此，一个新的数学对象——群，出现了。（谁能想到，我们发明群，一开始只是想在做一个问题的时候，偷个懒呢？）
