如何在考研数学中取得 140+ 的好成绩？

2019-09-17知识

【1】背景介绍

算是二战考生，一战数三144，但是政治扑街。

一战失败后应聘了某机构数学助教，打算边工作边考，但是自律性太差，准备不充分，只参加了当年数学科目的考试，取得150。

不甘心又参加了20考研，于国庆后辞职全职备考，但这次专业课扑街。

下图为20考研成绩，这次真切体会到了：选择大于努力。

【2】对数学学习的思考

思考一：在感性和理性中寻找一个平衡点

我们摄取外界信息的方式有感性和理性之分。
感性为我们所喜爱，因为感性比较直观，易于理解，并且不论对错，强调以自己的感觉为主；
与之相对应的理性，就不那么招人待见了，因为理性比较抽象，难以理解，并且对错分明，时常超越感觉，难以捉摸。

而数学这门学科，又偏偏是一门理性度非常高的学科。
因为它是从我们能够感觉到的表象中，去除次要的、非理性的要素之后，留下的较为本质的东西。
也正是如此，数学才被称为万科之母。

但这并不意味着感性在数学学习中毫无用处，恰恰相反，数学的学习需要我们在感性和理性中寻找一个平衡点。
这么多年的数学学习，我也一直这么做的，事实也证明了这种做法的正确性。

在众多的数学思想中，数形结合思想，就很好地平衡了感性和理性。
正如著名数学家华罗庚先生所说：「数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休」。

比如说，在高等数学中，形是 \Delta x 与 \Delta y ，即自变量与因变量的变化值，它们是贯穿高等数学的直观基础。
（1）若将 \Delta y 与 \Delta x 作商，即 \frac{\Delta y}{\Delta x} ，然后取极限则得一阶导 f^{'}\left( x \right) ，也即是曲线 y=f(x) 切线的斜率，推而广之，则得高阶导 f^{''}\left( x \right) 、 f^{'''}\left( x \right) 、 \cdot\cdot\cdot 、 f^{\left( n \right)}\left( x \right) 、 \cdot\cdot\cdot 。
（2）若用 \Delta x 表示 \Delta y ，即 \Delta y=f^{'}\left( x_{0} \right)\Delta x+o\left( \Delta x \right) ，则得微分 dy=f^{'}\left( x \right)dx ，推而广之，即用高阶导与 \Delta x 表示 \Delta y ，则得泰勒展开和无穷级数，即 \Delta y=\sum_{1}^{\infty}{\left[ \frac{f^{\left( n \right)}(x_{0})}{n!} \left( \Delta x \right)^{n}\right ]} 。
（3）若对（1）进行反向操作，即由 f^{\left( n+1 \right)}\left( x \right) 得 f^{\left( n \right)}\left( x \right) ，则就是不定积分，进而可以延伸出定积分与变限积分，其中定积分 \int_{a}^{b}f\left( x \right)dx 是 f\left( x \right) 在区间 \left[ a,b \right] 上与 x 轴围成的代数面积。
（4）带着感性基础 \Delta x 与 \Delta y 去学习高等数学，势必会有越学越爽的感觉。

思考二：数学学习的三重境界

境界一：一题一解
顾名思义，一道题目，一种解法。
在学习的初始阶段，最重要的事情就是运用所学知识去解决具体的题目。
因为，这一方面会加深我们对知识的理解；
另一方面也会让我们在学习中获得及时的正向反馈，从而调动我们的学习热情。

境界二：一题多解
一题多解主要体现了数学学习的灵活性和整体性，这是数学这门学科的内在规定性使然的。
如果你是一个狂热的数学爱好者，那么一题多解将会充分调动你的智力储备，助你打通知识之间的联系，让你充分体会到数学的逻辑自洽之美。
然而，一题多解对应试来说，作用不大。
因为在考场上，时间是不允许你在不同的解法之间反复横跳的。
在现实中，一题多解大多沦为装X工具，所以，我们不必过于执着。

境界三：多题一解
多题一解当中的一解并非指固定的一种解法，而是指一种统一的分析框架，也即是通法框架。
通法框架主要有两个作用：一是，它会让分析变得有迹可循；二是，它会让分析直达问题本质。
要想构建一类题目的通法框架，首先需要对题目进行本质筛选；
然后再将这些代表本质的的题目进行逻辑排列，以构成符合我们思维习惯的统一分析框架。
形象点来说，通法框架就是地基，纷繁多样的题目就是地基上的大厦。
本质上来说，通法框架就是将工具箱中的解题工具进行有逻辑的排列，以最大化解题效率。
然后，在它的指引下，面对题目的时候，我们就能够从工具箱中以合理的顺序调用工具，在效率、准确率和思维的流畅性之间，达到一个相对完美的平衡，让解题成为一种享受。

思考三：实践是检验真理的唯一标准

应试的目的就是获取高分，这点毋庸置疑。
所以，我们的一切行为，都将以真题高分为准绳。
而实践是检验真理的唯一标准，所以，通法框架的好与坏，都将在真题的实践中得到检验。

以通法框架为解题基础，在1987～2020的数三真题中，进行了实践检验，都取得了不错的效果，很多年份都可以100%保证考到140+。
这一结果，也充分证明了考研数学的去技巧化。
所以，在应试这一块，我个人偏向于通法，而不是那些所谓的奇技淫巧。

技巧与适用面，通常是反向关系。
因为一个题目，技巧度越高，通常也就意味着它的约束较多，所以适用面就相对地变窄。

我一直在追求一个完美的通法框架，但事实证明，这是一个只能无限接近，却永远也无法达到的目标。
不过，也正是如此，才能让我们时刻保持着对数学的敬畏之心，这也正是数学的无穷魅力所在。

所以，接下来我将向大家介绍：在考研数学的学习中，这些想法是如何被付诸实施的。

【3】一个例子：证明递推数列 x_{n+1}=f(x_{n}) 极限的通法框架

一个极限为 A 的数列在散点图上可表示为①②③三种形态：

对①②③三种形态的数列来说，均可使用 夹逼定理 进行证明。但是对于①②两种形态的数列来说，有更为简便的证明方法，即 单调有界准则 。
而对于③这一形态的数列来说，只能运用夹逼定理进行证明。
可喜的是，目前来看，真题考的都是形态①②所代表的数列，也即是可以运用单调有界准则进行证明的数列。
而形态③所代表的振荡数列，只在平时的训练题中出现。
所以，接下来，为了方便叙述和理解，我们将暂时忽略形态③，而将形态①②作为研究的重心，也即是将单调有界准则作为研究的重心。
不过，事后我们将会发现：适用于形态①②的通法框架，同样适用于形态③所代表的振荡数列。
这就是通法框架所带给我们的一种洞见：一种直达问题本质的能力。

如何证明有界性？

结合散点图可知：数列的极限 A 在数列的有界性中扮演着重要角色，所以我们需要先求出 A 。
这一步其实很简单，我们可以先假定数列的极限存在并设为A，然后利用递推关系式得方程 A=f\left( A \right) ，而后解方程即可。
求出 A 之后一切就都明了了：我们可以根据数列前几项的具体数值与 A 的大小关系，再结合数列的散点图，就可以知道此数列是①②中的哪种形态了。
然后所有的东西就已经陈列在我们面前：若是形态①，则数列单调递减，下界为 A ；若是形态②，则数列单调递增，上界为 A 。
当我们根据散点图猜测出数列的界限后，还需要进行证明，方法就是归纳法。
总的来说有界性就是先猜后证。

如何证明单调性？

证明单调性的方法：邻项相减、邻项相除、函数法。
邻项相减： x_{n+1}-x_{n}=f\left( x_{n} \right)-x_{n} 与 0 比大小。
邻项相除： \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{f\left( x_{n} \right)}{x_{n} } 与 1 比大小。
函数法：若 f^{'}\left( x_{n} \right)>0 ，则 \left\{ x_{n} \right\} 单调；若 f^{'}\left( x_{n} \right)<0 ，则 \left\{ x_{n} \right\} 振荡。

一个关键问题：先证明有界性还是先证明单调性？

解决这个问题的关键是：数列的 有界性 和 单调性 有无关系？如果有关系，谁依附于谁？
下面，我们就来分析这个问题。
证明单调性的方法：邻项相减、邻项相除、函数法。
邻项相减： x_{n+1}-x_{n}=f\left( x_{n} \right)-x_{n} 与 0 比大小。
邻项相除： \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{f\left( x_{n} \right)}{x_{n} } 与 1 比大小。
函数法： f^{'}\left( x_{n} \right) 与 0 比大小。
综上，想证明单调性必须先知道 x_{n} 的范围，也即是数列 \left\{ x_{n} \right\} 的有界性
所以，答案是显然的： 先证明有界性，再证明单调性。

终章：证明递推数列 x_{n+1}=f\left( x_{n} \right) 极限的通法框架

Step1：求极限值 A
先假定极限存在并设为 A ，然后由 A=f\left( A \right) 解出 A 。
Step2：判断 x_{n} 范围，即有界性
核心思想是先猜后证，核心方法是归纳法。
若无法判断有界性，则直接进行Step3。
Step3：利用 函数法 判断数列的散点图形态
若 f^{'}\left( x_{n} \right)>0 ，则 \left\{ x_{n} \right\} 单调；
若 f^{'}\left( x_{n} \right)<0 ，则 \left\{ x_{n} \right\} 振荡。

关于通法框架的说明：

上述通法框架三步法囊括了真题和平时的训练题，也就是说，若严格按照三步法走下来，将会涵盖考研范围内的递推数列极限问题。
但是，如果我们事先知道，所证数列是单调的，那么Step1与Step2就足够了。

从目前来看，真题考的都是单调数列，所以对于真题而言，Step1与Step2就足够了。
但是，为了保险起见，我们也需要掌握Step3，以防考研不按套路出牌。

还有一点需要说明的是，通法框架三步法是帮助我们分析的框架，只能出现在草纸上，不能写在试卷上。

【4】一个例子：2018数三19题通法框架下的解答

题目：

设数列 \left\{ x_{n} \right\} 满足： x_{1}>0 ， x_{n}e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1 \left( n=1,2,\cdot\cdot\cdot \right)
证明： \left\{ x_{n} \right\} 收敛，并求 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}

通法框架下的分析：

Step1：求极限值 A
由 x_{n}e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1 得 Ae^{A}=e^{A}-1 ，观察得 A=0
Step2：判断 x_{n} 范围，即有界性
由 x_{1}>0=A ，结合散点图易得 \left\{ x_{n} \right\}\downarrow ，下界为 A=0 ，即x_{n}>0 ，再由归纳法证明即可。

试卷上的规范过程如下：

（1）归纳法证有界
x_{1}>0 ，设 x_{k}>0 ，则 x_{k+1}=ln\frac{e^{x_{k}}-1}{x_{k}}
令 f\left( x \right)=\frac{e^{x}-1}{x} ， x>0 ，则 f^{'}\left( x \right)>0
故 f\left( x \right)>\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f\left( x \right)}=1
进而得 x_{k+1}>0 ，即x_{n}>0 \left( n=1,2,\cdot\cdot\cdot \right) 得证
（2）作差法证单调
由（1）知 x_{n}>0 ，故 x_{n+1}-x_{n}=ln\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}-x_{n}=ln\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}e^{x_{n}}}
令 g\left( x \right)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}} ， x>0 ，则 g^{'}\left( x \right)<0
故 g\left( x \right)<\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{g(x)}=1
进而得 x_{n+1}-x_{n}<0 ，即 \left\{ x_{n} \right\}\downarrow
（3）求极限值
综上，由单调有界准则可得 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} \exists
设 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=A ，则 Ae^{A}=e^{A}-1 ，观察得 A=0
下面证明解的唯一性：令 h(x)=xe^{x}-e^{x}+1 ， x\geq0
则 h^{'}(x)\geq0 ，且等号仅在 x=0 处成立，即 h(x) 严格单增
又 h(0)=0 ，故 h(x)=0 有唯一解 x=0 ，也即是 A=0

【5】证明递推数列极限问题的总结

通法框架的优势：

我目前遇到过的所有证明递推数列极限的问题，包括但不局限于考研真题，都可以运用上述通法框架三步法来证明。
通法框架重在「通」字，「通」是抓住了此类题目的共性，所以才能解决这一类题目。

通法框架的形成：

适量的高品质题目练习是形成通法框架的必要条件，只有通过练习，才能抓住一类题目的共性而刨除个性。
及时的归纳和 深入的思考 是形成通法框架的充分条件，只有通过深入的思考，才能直达问题的本质，最终形成一个统一的分析框架。

通法框架的演进：

通法框架的形成不是一蹴而就的，需要不断地试错和修改。
也有很大可能每个人总结出来的框架是不一样的，但这正是通法框架的神奇之处，只有融入了自己思考的通法框架用起来才顺手。

通法框架与应试：

应试是在有限的时间内高质量完成答卷，而通法框架是将解题步骤程序化，从而可以有效节省考试的时间和避免因思维的散乱性而导致的错误，所以应试与通法框架并不矛盾，反而相得益彰。

以证明递推数列 x_{n+1}=f\left( x_{n} \right) 极限为例说明通法框架的形成过程：

在我所接触到的数学思想中，数形结合是我最喜欢的，因其很好地满足了感性和理性的结合：一方面，在坐标图中画出数列的散点图，结合散点图我们获取了更多的直观信息，也即是在散点图上直观地感受到数列的有界性、单调性，这是感性方面；另一方面，再将从图形上获得的直观信息回归到数理表达，也即是用数学语言证明数列的有界性、单调性，这是理性方面。
这一来一回为我们提供了更多有用的信息，从而有利于我们总结出通法框架。 2020/05/16更新

【6】几点说明

写作目的

算是对这三年数学学习的一点总结，分享一下自己的学习经历，让自己的岁月留下痕迹。若有幸帮到大家，让大家在学习数学的路上少走弯路，那也将是一件有意义的事情，并且值得一直做下去；

对题目进行的两种划分：一般型和技巧型

一般型：顾名思义，此类题目不需要技巧，只需要我们对基本知识有个清晰的认识和平时扎实的训练，此类题目是考研的大头，可以毫不夸张地说，只要把这些题目攻克，考研数学成绩绝不会拉后腿。当然，想把这类题目熟练掌握也绝非易事，就我自己的经历来看，做大量的练习以及及时的归纳总结是必不可少的，其中归纳总结又是最重要的一步，这一步要求我们会区分题目：到底是因为这个题目有独特的技巧还是因为我基本功不扎实而做错？如果是因为题目有独特的技巧而做错，我们可以将其暂置一边；但若是因为自己基本功不扎实，那么我们就要努力了，这正是我们复习必须要攻克的题目。对于我们是否真正掌握了一般型的题目，我个人有一个检验标准：此类题目是否在自己脑中形成了一个程序化的解题框架，当再次遇到此类题目时，我们可以不假思索地一步步解出正确答案；
技巧型：此类题目的特点是具有独特的解题技巧，每个题目都不同，所以此类题目我们会做了也就是会背了，此类题目前期不应该花费我们过多精力，而且此类题目在考研中的地位也是微乎其微，大多年份考研真题就没有技巧型题目，因而并不影响我们考上自己的目标院校；

针对应试高分的一点私货

在应试方面，我个人偏向于使用 做题思路框架 解题，此处的 做题思路框架 是指：当见到一类题目时，脑海中就已经知道此类题目的常用思路，其建立在大量的题目练习与总结之上，它能帮助我们快速解决那些在自己能力范围内的题目以及果断放弃超出自己能力范围的题目，我自己的复习过程大致遵循以下几个步骤，大家可以针对自己的情况选择性吸收：

刷全书，我用的是【李正元复习全书】+【李永乐线代讲义】，这一遍是精做，目的是扫清各种考点和题型，并对做错的题目进行标记；
刷错题，此步是为了将全书中所有内容掌握，为下一步打下基础；
归纳题型和 做题思路框架 ，目的是对每章节题目有个宏观上的把控；
选取高质量习题（我用的是660）检验和完善 做题思路框架 ；
真题试练，在此过程中尽量按照考研的要求来做，练习真题时就以上述几个步骤所得的 做题思路框架 为依据，但此时并不把所有真题刷完，留下5套供考前几天仿真训练；
做高质量模拟卷（历年合工大+李正元400），仍旧以上述所得的 做题思路框架 为依据；
回归错题，利用 做题思路框架 解决错题，此时的 做题思路框架 应该已经比较完善了；
真题模拟训练，仍旧以 做题思路框架 为依据，此时的框架应该能在所有的真题中保证取得140+了，但前提是不能出现计算错误；

没有大量的题目练习，再好的学习方法也没用

结合我自身的学习经历，私以为数学考试想取得高分必须具备两个条件：足量的题目练习和题目的归纳总结，二者缺一不可；

足量的题目练习：这是数学学习的第一步，目的是理解各种考点和常考题型，这是数学的根基，如果不能清晰地了解各种知识点，那么后期根本得不到质的升华；
题目的归纳总结：将上一步训练所得的根基进行分类归纳，将题目进行划分，并且以「一般型」题目为主，然后在宏观视角构建各种题目的解题框架，并且注意在以后的题目练习中使用这种框架，为的是在做题的过程中不断完善框架，增强框架的涵盖性；

保持对数学的敬畏之心

由于数学本身具有很强的灵活性，尽管我一直在追求一个完美的「通法框架」，但事实证明并不存在这样的框架，但这并不会阻碍我们取得高分，我们只要无限接近这个理想中的完美的「通法框架」就足够了，我们的目的是高分而不是完美的「通法框架」。当我们做透了历年真题之后，会发现我们所谓的不那么完美的「通法框架」已经足够帮助我们取得高分了，但是有一点大家也要明确，这些框架都是自己平时做题总结的产物，所以这些框架肯定会因人而异，甚至这也意味着这些框架可能存在一些漏洞，但正是这些漏洞给我提供了不断完善这些框架的机会和动力，同时大家也不能过度依赖这些框架，因为框架的形成核心是思考，过度依赖框架反而会让自己解题变得僵硬，只有灵活地将做题和框架进行结合，才能真正达到「量」向「质」的转变，由于个人能力有限，文中如有不当之处，欢迎大家批评指正；

2020/05/24更新

【7】关于线性代数的几点个人思考

一个由「线性方程组」引发的「惨案」

线性方程组是线性代数的核心，整个线性代数的内容都是围绕线性方程组来展开的，理解了线性方程组也就抓住了线代这门课的「根」，但是，想要理解线性方程组，在我看来，至少需要以下2个维度：

第一层维度——方程组视角这层视角大家应该比较熟悉，教材从一开始就引入了线性方程组概念，只不过线代教材将线性方程组用其特有的符号即矩阵和向量进行了表达，但其本质还是线性方程组，之所以这样去理解矩阵和向量，是为了能够让我们在感性上比较容易接受，从而对矩阵的变换和秩会产生较深刻的感性层面的理解，比如说矩阵的行变换过程对应着解线性方程组的过程，其本质就是去除无效方程而只留下有效方程的过程。再比如说，矩阵的秩就是有效方程的个数，是矩阵变换之后留下的最根本的独立的东西，将其与线性方程组所包含的未知数的个数进行做差即可得到自由未知数个数，当然此处有个重要原则，不过大家应该比较容易理解：n个未知数必须有n个 独立的方程 才能解出来，而独立的方程个数就是有效方程的个数，所以秩对于线性代数来说，是非常重要的一个概念。学过【国际金融】的同学应该知道，这个原则的一个具体运用就是丁伯根法则，虽然学科不同，但是蕴含的真理却是一样的，这就是真理的魅力！
第二层维度——向量视角该层视角是从第一层视角推理出来的，虽然是推理出来的，但是却有其独特的规则，就好比衍生品是由基础资产衍生而出，但是却有其独特的运行规则，有些时候甚至可以脱离基础资产进行投机炒作，乃至催生巨大泡沫。既然是推理，那么我们就先从最基本的开始，也就是从线性方程组开始，然后再抽象出一般的通用的原理。我们先以下面的一个具体线性方程组为例进行说明：

其对应的矩阵语言表达如下：

其对应的向量语言表达如下：

向量语言表达的第一层解读：

向量语言表达的第二层解读：

向量和矩阵语言的混合解读：

Ax=b 可以看作向量 x 在线性变换 A 的作用下变成向量 b 的过程，但究其本质，仍旧是线性方程组问题，此视角在理解二次型标准化的过程中非常有用；

辨别「矩阵」与「行列式」

何谓矩阵矩阵的本质是一个数表，该数表对行数和列数没有任何规定，其运算包括加法、减法、数乘和乘法，另外矩阵的行初等变换过程对应着去除无效方程的过程，留下的有效方程个数即是秩；
何谓行列式行列式的本质是一个行数和列数相等的数表所对应的一个数，只不过这个数是按照一定的规则计算出来的，即是所有不同行不同列元素的乘积的代数和，之所以称之为代数和，是因为要用逆序数对每项进行符号判定；
矩阵与行列式关系矩阵是一个数表，其对行数和列数没有要求，行数既可大于列数，亦可小于列数，亦可等于列数，但当行数等于列数时，此时的矩阵又称方阵。但行列式是一个数，其要求行数必须等于列数，也就是说，只有方阵才存在相应的行列式，除去方阵的矩阵不存在对应的行列式！

二次型：线性方程组的一次具体运用

二次型的线性代数表达：

二次型标准形的重要意义：

二次型的标准形（亦法式），只含有平方项，而只含有平方项的二次型通常具有现实的研究意义，所以二次型研究的目的就是要将其标准化；

二次型的标准化过程：

相似对角化的本质：

线性代数内容的整体框架的重要性

由于线性代数这门课的整体性特别强，所以我们不能单单就题论题，不能只见树叶不见树木，乃至森林。也正是由于线代的整体性特别强，出题老师才能灵活多变，一道题贯穿多个章节，通常让我们感到没有固定套路可寻，但这也恰恰是线代这门课程的致命弱点：线性代数的整体性来源于其是由线性方程组衍化出来的，这也就决定了线性方程组是其根，也是我们的突破点，由此也引出了线性代数这门课程的一种重要思考方式：线性方程组思维，也就是将所求问题转换为线性方程组问题，然后利用整体框架将所求问题与各个章节联系起来，这时候的思维就像喷泉一样一涌而出，当然想达到这一步也并不简单，需要一定的做题量为基础再加上自己的思考总结；

【8】近期一些同学私我的一些问题说明

有没有更多的「通法框架」

其实我上面啰啰嗦嗦说了一大堆，都只是一种思想的具体表现而已，这种思想就是解决问题的本源，「通法框架」听起来那么具有吸引力，但并不是每类题型都如我上面所列示的证明数列极限那样具有固定的范式，在现实中更多的是这样一种情况：遇到一个题目，大脑就开始在自己平时整理好的 框架库 中搜索，然后寻找合适的解题方法，至于怎么建立起这个框架库，我已经在上面和大家说了，大家如果把这些思想运用到各个章节的学习中，我想大家会取得不错的效果；

英语和政治怎么复习

关于英语和政治的复习经验，大家可以翻一下这个帖子下面的讨论，其实这两科考出这样的成绩是有运气成分的，大家选择性吸收有利于自己的就可以了；

辅导考研数学否

我写这个帖子的本意是分享和记录一下自己对考研数学的理解，实在没想到能够得到这么多人的认可，实属惶恐！而且近期有些同学私下找我想跟着我一起学习考研数学，这更是对我的认可，在这里谢谢大家！但是由于我现在工作比较忙，精力有限，所以能辅导的同学数量有限，而且只辅导数三，评论区里关于此的问题我就不一一回复了，还有什么疑问可以私我，再次感谢大家的信任！

2020/06/15更新

下期更新内容说明：

下期打算更新的内容是中值定理模块，该模块非常灵活，为了尽可能全面地给大家呈现中值定理类问题的全貌，需要花费一些时间，希望大家耐心等待！再次感谢大家的认可！也欢迎大家与我交流，一起进步！

2020/08/01更新

经过将近两个月的时间，中值定理相关材料已经陆陆续续收集好了，我今天和明天会把材料进行系统归纳总结，然后呈现给大家！

不过在此之前需要再次说明一下：中值定理模块是非常灵活的，我尽可能做到完善，但绝对达不到非常完善！但是，以我个人经验来看，这种程度对付考研数学，足矣！还有就是如果大家在阅读的过程中发现什么疑问或者有更好的思路，也欢迎与我交流！

2020/08/15更新

【9】中值类问题「思考框架」

一个说明

为了叙述和解题方便，我将中值类问题分为「狭义」和「广义」两大类，这种分类方法不具有任何权威性，只是为了叙述方便，在此声明一下

「狭义」中值：即我们平时所说的微分中值，包括费马定理 \xi\in(a,b) 、罗尔定理 \xi\in(a,b) 、拉格朗日中值定理 \xi\in(a,b) 、柯西中值定理 \xi\in(a,b) 和带拉格朗日余项的泰勒公式 \xi\in(a,b) ，这些定理有个共同点：它们研究的都是 \xi\in(a,b) 这个开区间内的中值
「广义」中值：广义中值的研究对象包括闭区间内中值 \xi\in[a,b] 和开区间内中值 \xi\in(a,b) 这两类问题，包括介值定理 \xi\in[a,b] 或 \xi\in(a,b) 、零点定理 \xi\in(a,b) 、费马定理 \xi\in(a,b) 、罗尔定理 \xi\in(a,b) 、拉格朗日定理 \xi\in(a,b) 、柯西定理 \xi\in(a,b) 和带拉格朗日余项的泰勒公式 \xi\in(a,b)
二者关系：广义中值=狭义中值+零点定理+介值定理
以下我们所讨论的中值类问题「思考框架」均是针对「广义」中值而言，这一点需要大家注意

何谓中值？

顾名思义，中值即中间值，但这个中间值又分为两大类：闭区间内中值 \xi\in[a,b] 和开区间内中值 \xi\in(a,b) ，这一区分看似微小，但却代表着不同类型的题目和解题方法，我们后面会一一叙述

研究中值类问题的一种重要视角：纬度视角

何谓维度视角？

维度视角之升维解读：

升纬的过程就是从函数 f(x) 所具有的某种特性导出其导函数 f'(x) 所具有的某种特性的过程，大家可以认真思考一下：其实狭义中值定理干的就是升维这件事！

维度视角之降维解读：

降维则刚好与上述升维相反，是从导函数 f'(x) 所具有的某种特性导出函数 f(x) 所具有的某种特性的过程，降维通常有以下两种方法：

法一（微分方程法）：从证明对象入手，把证明对象看作微分方程，然后解此微分方程，解出微分方程之后，只需要把自由常数单独移至等号一侧，则等号另一侧即为所构造函数 F(x) ，然后再对所构造函数 F(x) 利用中值定理即可，所以降维的过程本质就是解微分方程的过程！

法二（拼凑法）：此法需要平时足量的题目训练和个人归纳总结，因没有统一范式，此处不再叙述

以20年数二一道真题来论证维度思维的重要性：

广义中值定理解读

介值定理

区间： \xi\in[a,b] 或 \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow 0 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束： f(a)=f(b) 或 f(a)\ne f(b)

证明对象：等式

介值定理的两种形式

零点定理

区间： \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow 0 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束： f(a) 与 f(b) 异号

证明对象：等式

费马定理

区间： \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow -1 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束：

证明对象：等式

罗尔定理

区间： \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow -1 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束： f(a)=f(b)

证明对象：等式

拉格朗日中值定理

区间： \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow -1 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束： f(a) 与 f(b) 无约束

证明对象：等式或不等式

柯西中值定理

区间： \xi\in(a,b)

维度：证明对象 \rightarrow -1 维 \rightarrow 证明对象

端点处函数值约束： f(a) 与 f(b) 、 g(a) 与 g(b) 均无约束，但对处于分母位置的 g(x) 需满足 \forall x\in(a,b) ， g'(x)\ne0

证明对象：等式

带拉格朗日余项的泰勒公式

区间： \xi\in(a,b)

维度：

端点处函数值约束： f(a) 与 f(b) 无约束

证明对象：等式或不等式

中值类问题的分析要素

要素一：区间划分

区间划分的重要性：从上述「广义中值定理解读」过程不难发现，中值定理与区间密不可分，所以区间的划分对解决中值类题目至关重要，在哪个区间上使用中值定理是我们必须要考虑的问题

划分区间的标准：根据题目条件，找出一些 含有丰富信息 的「关键点」，然后「关键点」之间进行两两组合，每两个「关键点」构成的区间便可运用中值定理

要素二：端点值（亦「关键点」处的函数值）

端点值需要考虑两方面问题

问题一：端点值的个数
端点值的个数与「关键点」的个数密不可分，每个「关键点」必对应着一个端点值

问题二：端点值有无约束
端点值有无约束决定着我们采用何种定理，结合上述「广义中值定理解读」来理解

要素三：介值区间 \xi\in[a,b] or \xi\in(a,b)

区间的开闭对解题方法的选择至关重要，通过以上分析我们可以知道：
闭区间 \xi\in[a,b] 只能使用介值定理来证明，而开区间 \xi\in(a,b) 则可以使用广义中值定理来证明

要素四：等式or不等式

证明对象为等式：结合上述「广义中值定理解读」来理解

证明对象为不等式：结合上述「广义中值定理解读」来理解

要素五：低阶or高阶

低阶是指一阶导

高阶是指二阶导和三阶导
法一：对函数 f(x) 利用中值定理进行逐次升维
f(x)\rightarrow f'(x)\rightarrow f''(x)\rightarrow f'''(x)
法二：对函数 f(x) 进行带拉格朗日余项的泰勒展开

上述五个分析要素间的逻辑关系

令 P_{1} =「要素一」+「要素二」

该部分是对题目所给条件的分析

令 P_{2} =「要素三」+「要素四」+「要素五」