计算超球体的体积与表面积比较麻烦，这里先直接给出公式
V_n(r) = \frac{(\sqrt{\pi}r)^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}, S_n(r)=\frac{2(\sqrt{\pi})^nr^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})}=\frac{nV_{n}}{r}
其中 V,S 分别是体积与表面积， r 是半径，\Gamma 为gamma函数，满足 \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) ， \Gamma(1) = 1, \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} 。
当 r=1 时，可计算不同维度 n 下的体积，如
V_5(1)=\frac{\pi^{2.5}}{\Gamma(\frac{7}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\Gamma(\frac{5}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{8\pi^{2}}{15}
V_6(1)=\frac{\pi^{3}}{\Gamma(4)}=\frac{\pi^{3}}{3!}
当 n 趋于无穷时， V_n(1) 的分子以幂指数增长，分母以阶乘增长，因此体积趋于0；当 r\gt 1 时，也是同样趋于0。
瞎扯：突然间联想到了三体中质子的展开过程，高维的质子体积非常小（在三维空间中的投影体积？），展开成2维面后，几乎包裹了整个三体行星，可以在上面雕刻电路，制造成超级计算机。是不是可以对于到超球体的体积
ps：超球体的计算思路可参考圆与球体的体积 [1] 。对三维球切片可得到一系列不同半径（ \sqrt{r^2-x^2} ）的二维圆（二维圆面积等于体积），从而高维体积可由低一维的体积积分而成。因此可得递推式 V_n = \int_{-r}^{r}V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx ，其中 V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) 又可拆分成 V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})=V_{n-1}(r)\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}^{(n-1)} （类比于三维球的一个切片面积为 s(\hat{r})=\pi \hat{r}^2=\pi(r^2-x^2)=\pi r^2*(1-\frac{x^2}{r^2}) ， x 视为切片高度）。之后再借助beta函数，gamma函数以及正态分布的积分知识，就可以推导出超球体体积。
参考
- ^ 漫谈超球体的体积公式 https://zhuanlan.zhihu.com/p/148405054
