发现微分几何里面概念有些多，需要在每章后面来个胡乱写的心得小结。目前只会写个大框架，里面详细内容高兴就补，不高兴就不补了...用的教材是GTM 275。
首先，什么是affine connection？它是 \mathbb R^n 中的方向导数 D : \mathfrak X (\mathbb R^n)\times \mathfrak X (\mathbb R^n) \to \mathfrak X (\mathbb R^n) 的推广。我们观察 \mathbb R^n 中的方向导数，发现它有一些很好的性质，于是我们希望把这些性质保留下来，并推广到任意的流形 M 上。下面给出Affine connection的定义：
Affine Connections
一个流形 M 上的 affine connection 是一个 \mathbb R -linear map ：\nabla: \mathfrak X(M)\times \mathfrak X(M) \to \mathfrak X(M) \tag*{}
我们将 \nabla(X,Y) 记作 \nabla_XY 。它满足下列两个性质：（ \mathcal F 是 C^\infty (M) 构成的环）对于任意的 X,Y\in\mathfrak X(M) ，有
- \nabla _XY 在 X 的位置是 \mathcal F -linear的
- \nabla _XY 在 Y 的位置满足 Leibniz 法则： \forall f\in \mathcal F,\nabla _X(fY) = (Xf)Y+f\nabla _XY
那么作为方向导数的推广， \mathbb R^n 中的方向导数自然就是 \mathbb R^n 上的 affine connection，也称为 \mathbb R^n 上的 Euclidean Connection
Torsion and Curvature
回忆对于方向导数我们有下列命题成立：
- (zero torsion) D_XY-D_YX-[X,Y]=0
- (zero curvature) D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z=0
- (compatibility with the curvature) X\langle Y,Z\rangle = \langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle
那么对于流形 M 上的affine connection来说，很自然的事就是问，Euclidean Connection的这些性质它还满足吗？额，结果显然是否定的。实际上，对于 X,Y\in\mathfrak X(M) ，令 \begin{aligned} T(X, Y) &=\nabla_{X} Y-\nabla_{Y} X-[X, Y] \in \mathfrak{X}(M) \\ R(X, Y) &=\left[\nabla_{X}, \nabla_{Y}\right]-\nabla_{[X, Y]} \\ &=\nabla_{X} \nabla_{Y}-\nabla_{Y} \nabla_{X}-\nabla_{[X, Y]} \in \operatorname{End}(\mathfrak{X}(M)) \end{aligned} \tag*{}
我们把 T(X,Y) 称作这个connection的 torsion ，把 R(X,Y) 称作这个connection的 curvature 。
一个 M 上的affine connection实际上也蕴含了一个线性映射： \mathfrak{X}(M) \rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{X}(M)), \quad X \mapsto \nabla_{X} \tag*{}
\mathfrak{X}(M) 和 \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{X}(M)) 都是Lie algebra
之前在列举 \nabla _XY 的性质的时候 Y 并不是 \mathcal F -linear的，然而torsion和curvature在每个argument上都是 \mathcal F -linear的，即我们有如下结论：
Proposition 6.3 令 X,Y,Z 为流形 M 上的smooth vector fields with affine
connection ∇ ：
- The torsion T(X,Y) 对 X,Y 都是\mathcal F -linear的
- The curvature R(X,Y)Z 对 X,Y,Z 都是 \mathcal F -linear的
证明要用到这个挺重要的公式： \forall f\in \mathcal F 有 [f X, g Y]=f g[X, Y]+f(X g) Y-g(Y f) X \tag{6.1}
主要要用它把 [fY,Z] 这种东西展开...其它就follow the definition就行了
下面是最重要的Riemannian Connection。
Riemannian Connection
首先如果一个connection它的torsion为0，那么称它是torsion-free的。在一个黎曼流形上我们说一个connection是compatible with the metric 的，若 \forall X,Y,Z\in \mathfrak X(M) ，有 Z\langle X, Y\rangle=\left\langle\nabla_{Z} X, Y\right\rangle+\left\langle X, \nabla_{Z} Y\right\rangle 。我们随后会发现加上这两个条件之后就可以在一个Riemannian manifold上唯一确定一个connection。
Definition 6.4 像上面这种唯一确定的connection称为Riemannian connection或者Levi-Civita connection
下面给出一个引理，这个引理说如果我们要确定一个在黎曼流形上的 C^\infty vector field X ，我们只要知道对于每个 Z\in\mathfrak X(M) ， \langle X,Z\rangle 的值就行了。
Lemma 6.5. A C^\infty vector field X on a Riemannian manifold (M,\langle ,\rangle) is uniquely determined by the values \langle X,Z\rangle for all Z\in\mathfrak X(M)
证明非常简单，证明唯一性也就是若 X'\in \mathfrak X(M) 也满足 \langle X,Z\rangle = \langle X',Z\rangle ，那么有 X=X' 。令 Y=X-X' ，这也就是要证对于所有 Z\in\mathfrak X(M) 都有 Y=0 。取 Z=Y 我们就可以得到 \langle Y,Y\rangle =0 即 Y=0
下面我们来证明Riemannian connection的唯一性
Theorem 6.6. 在一个Riemannian manifold上存在一个唯一的Riemannian connection.
Proof. 设 \nabla 是 M 上的一个Riemannian connection。通过上面的引理我们知道若需要指定 \nabla_XY 实际上我们只需要知道 \langle \nabla_XY ,Z\rangle, \forall Z \in \mathfrak X(M) 。所以我们试着找出一个 \langle \nabla_XY ,Z\rangle 的公式来。
回忆定义。一个Riemannian connection满足两个公式： \nabla_{X} Y-\nabla_{Y} X-[X, Y]=0 \tag{6.3}
X\langle Y, Z\rangle=\left\langle\nabla_{X} Y, Z\right\rangle+\left\langle Y, \nabla_{X} Z\right\rangle \tag{6.4}
循环 (6.4) 中的指标得到 Y\langle Z, X\rangle=\left\langle\nabla_{Y} Z, X\right\rangle+\left\langle Z, \nabla_{Y} X\right\rangle \tag{6.5}
Z\langle X, Y\rangle=\left\langle\nabla_{Z} X, Y\right\rangle+\left\langle X, \nabla_{Z} Y\right\rangle \tag{6.6}
通过 (6.3) 我们可以把 (6.5) 式中的 \nabla _YX 写成 \nabla _XY-[X,Y] ： Y\langle Z, X\rangle=\left\langle\nabla_{Y} Z, X\right\rangle+\left\langle Z, \nabla_{X} Y\right\rangle-\langle Z,[X, Y]\rangle \tag{6.7}
(6.4)-(6.6)+(6.7) ： 类似 \nabla_AB-\nabla_BA 的项由于torsion-fre
