高中学物理时发现了一个悖论，是不是在高中知识下无解？

2022-10-10知识

更新修正一些你们没发现的bug，并且指出悖论的解决核心:

四加速的分量在两个参考系都是相等的. (这太显然了所以我绕一大圈算给你看)

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取光速c=1 , 假设发射速度是v . 带撇的是实验系的变量，不带撇是运动系的变量.

认为电子发射的方向是z, 两个电子连线是x方向，右手坐标系， 只考虑发射后的瞬间 , 以其中一个电子为原点，则电子参考系的电磁场如下：

\begin{aligned} \vec{E}&=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{\vec{r}}{r^3}+\frac{\vec{l}+\vec{r}}{|\vec{l}+\vec{r}|^3}\right)\\ \vec{B}&=0\\ \end{aligned}

如果只考虑 该电子受到的电磁场 ：

\begin{aligned} \vec{E}&=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{l}+\vec{r}}{|\vec{l}+\vec{r}|^3}\\ \vec{B}&=0\\ \end{aligned}

(电子能不能感受到自己的库伦作用，这个问题到量子场论里面再解决)

那么电磁场张量就是:

F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&-B_z&B_y\\ -E_y&B_z&0&-B_x\\ -E_z&-B_y&B_x&0\\ \end{pmatrix} =-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec{l}+\vec{r}|^3} \begin{pmatrix} 0&x+l_x&y+l_y&z+l_z\\ -x-l_x&0&0&0\\ -y-l_y&0&0&0\\ -z-l_z&0&0&0\\ \end{pmatrix}

利用洛伦兹变换 (p.s. v 前面的负号来自对协变指标变换)：

\Lambda^\alpha_\beta= \begin{pmatrix} \gamma&&&-\gamma v\\ &1&&\\ &&1&\\ -\gamma v&&&\gamma\\ \end{pmatrix} ,其中\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} ,

则实验系中的电磁场张量：

\begin{aligned} F'_{\mu\nu}=\Lambda^T F\Lambda &= \begin{pmatrix} 0&E'_x&E'_y&E'_z\\ -E'_x&0&-B'_z&B'_y\\ -E'_y&B'_z&0&-B'_x\\ -E'_z&-B'_y&B'_x&0\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0&\gamma(E_x+vB_y)&\gamma(E_y-vB_x)&E_z\\ -\gamma(E_x+vB_y)&0&-B_z&\gamma(B_y+vE_x)\\ -\gamma(E_y-vB_x)&B_z&0&-\gamma(B_x-vE_x)\\ -E_z&-\gamma(B_y+vE_x)&\gamma(B_x-vE_x)&0\\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0&\gamma E_x&\gamma E_y& E_z\\ -\gamma E_x&0&0&v\gamma E_x\\ -\gamma E_y&0&0&v\gamma E_y\\ - E_z&-v \gamma E_x&-v \gamma E_y&0\\ \end{pmatrix}\\ &=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{\gamma}{|\vec{l}+\vec{r}|^3} \begin{pmatrix} 0&x+l_x&y+l_y&(z+l_z)/\gamma\\ -x-l_x&0&0&v(x+l_x)\\ -y-l_y&0&0&v(y+l_y)\\ -(z+l_z)/\gamma&-v(x+l_x)&-v(y+l_y)&0\\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

也就是说, 在 这个瞬间 ，实验室系，另一个电子对这个电子作用的电磁场是:

\begin{aligned} \vec{E}'&=(\gamma E_x,\gamma E_y, E_z)=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{\gamma}{|\vec{l}+\vec{r}|^3}\left(x+l_x,y+l_y,(z+l_z)/\gamma\right)\\ \vec{B}'&=(-v\gamma E_y,v\gamma E_x,0 ) =-\frac{e}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{v\gamma}{|\vec{l}+\vec{r}|^3}\left(-y-l_y,x+l_x,0\right) \\ \end{aligned}

所以代入:

\begin{aligned} \vec{r}&=(x,y,z)=0\\ \vec{l}&=(l,0,0)\\ \vec{v}&=(0,0,v)\\ \end{aligned}

算得 此瞬间 电磁作用的力：

\vec{F}=-e(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})=\left(\frac{e^2\gamma}{4\pi\epsilon_0l^2},0,0\right)+\left(-\frac{e^2\gamma v^2}{4\pi\epsilon_0l^2},0,0\right)=\left(\sqrt{1-v^2}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0l^2},0,0\right)

即 库伦相互作用乘上一个因子 \sqrt{1-v^2} . 就是

@白如冰

的结果.

这个结论无论要怎么解读都好，毕竟数学的结论就摆在这里。

不过等会我会证明\sqrt{1-v^2} 可以被理解为时间膨胀效应\sqrt{1-v^2}=\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}

重要:

(1)
包括我在其他人评论下提到的，力的洛伦兹变换其实是很tricky的一个东西, 力的话一定要有一个测力计之类的东西来测量的，而测力计显示器上的数字总是一个"洛伦兹不变量", 代表的是测力计那个参考系的结论。

而在高能物理中，库伦作用是通过虚光子来传递的，「力」已经不是一个好的物理量，因为测力计弹簧的弹性也是库伦作用决定的.

尽管如此，在理论物理中，你可以通过动量的变化定义不一样的"力"，它们都有"力"的量纲：

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\,\,\,,\,\,\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t'}\,\,\,,\,\,\,\frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}t}\,\,\,,\,\,\,\frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}t'}

其中 带撇的是实验系的变量，不带撇是运动系的变量 , 即便它们在低速下的空间分量都回到牛顿力学的定义\vec{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p'}}{\mathrm{d}t'} ，然而这里 具有洛伦兹协变性的「力」 只有f=\frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}\tau}

称为4-force，t\to\tau 是记号习惯，称为固有时, 是洛伦兹不变量.

并且，我们上面算的F=q(E+v\times B) 并不是 4-force.

真正 协变的 4-force是 f_\mu=qF_{\mu\nu}u^\nu , 用人话讲就是:

\begin{aligned} f^0&=q\gamma\vec{E}\cdot\vec{v}\\ f^i&=q\gamma(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}), \,\,\,i=1,2,3 \end{aligned}

4-force除以静止质量就是4-acceleration(4-加速度a_\mu=f_\mu/m_0 ), 是另一个协变的向量.

比较有意思的:

4-force的空间分量， 刚好就是库伦相互作用的大小 ：

f^i=\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 l^2},0,0\right)

因为boost的方向和电场力的方向正交，所以不受影响，这只是个偶然的结果。 这也恰恰说明，四加速度的x 分量在两个参考系是一样的.

所以「悖论」在这里就解决了.

回到我们刚才的计算结果，\vec{f}=\frac{\mathrm{d}\vec{p'}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p'}}{\mathrm{d}t'}\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p'}}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1-v^2}=\vec{F}\sqrt{1-v^2} . 于是我们证明了这个因子可以认为完全是时间膨胀带来的，如果扣除了这个因子，那么两个「力」是一样的. 不过我认为四加速已经是最简洁的方法了，你可以以此换算成其他的量.

(2)

这是坠重要的，直接和高中知识点联系的：