谢邀.这种类型的幂级数求和一般考虑转化成几何级数去解决.
Solution:
稍微对其变形，有 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{2n-1}}{2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x\cdot x^{2n-2}}{2^{n-1}}}=x\cdot\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x^{2}}{2} \right)^{n-1}} ,然后就可以利用几何级数了.
几何级数： \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}}=\frac{1}{1-r}(\left| r\right|<1) 。
代入到上面的公式，可以得到 \sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x^{2}}{2} \right)^{n-1}}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}=\frac{2}{2-x^2}(\left| \frac{x^2}{2} \right|<1)
故求得其和函数为 f(x)=\frac{2x}{2-x^2} ,收敛区间为 (-\sqrt{2},\sqrt{2}) .
