结论:对于边长为1的三角形,魔鬼可以在2.03的时间内抓住天使。 以下为实现方法:
- 魔鬼平行于底边筑起第一道火墙,长度为 a ,把原三角形分成边长为 a 的正三角形和梯形。 a 的取值需保证梯形的高 1/4\lt h \lt1/2 . 注意到 h=\frac{\sqrt3}{2}(1-a) .
- 上述梯形可以被长为 1 宽为 h 的长方形完全覆盖。如果天使在梯形中,则魔鬼按照 对长方形长边对半分 的方式缩小对天使的包围并抓住她;如果天使在上方边长为 a 的正三角形内,魔鬼对这个小正三角形 等比例重复步骤1.
- 根据天使是在小三角形还是梯形内,不断 等比例重复步骤2.
第一道火墙筑成后,如果天使在梯形内,那么魔鬼抓住天使所需的总时间为 t_1=a+1/2+\frac{3\sqrt3}{2}(1-a) ;如果天使在上方的正三角形内, 那么由于等比例的相似性,后续所有分割,天使都会选择三角形 ,因此抓住天使所需的总时间 t_2 满足 t_2=a+at_2 . 令 t_1=t_2 ,解得 a = (56+15\sqrt{3}-\sqrt{1143+852\sqrt{3}})/46\approx0.67 . 此时无论天使怎么选择,被抓住的时间都一样:t\approx 2.03 .
注:以上结论并非指最小时间,只是一个上界。