本質在於 a^{\frac{p}q} 是定義成 (a^p)^{\frac{1}{q}} 還是 (a^{\frac{1}{q}})^p 的問題。
對於一般的復數，定義 a^b=e^{bLna} 。如果取輻角為主值（即 k=0 ），那麽 a^b=e^{b\ln |a|}[\cos (b\arg a)+i\sin(b\arg a)] 。這樣定義的 a^b 符合實數中的定義（前提是式子有意義），例如 (-3)^2=e^{2\ln 3}(\cos2\pi+i\sin2\pi)=3^2\cdot(1+0)=9 ， 9^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}\ln 9}(\cos 0+i\sin0)=\sqrt{9}\cdot(1+0)=3 ，等等。
如果 b 是一個分數（先不管是否可以約分），而 a 是一個負數的話，記 b=\frac{p}{q} ，代入上式得 a^b=e^{\frac{p}{q}\ln|a|}[\cos(\frac{p}{q}\pi)+i\sin(\frac{p}{q}\pi)] 。這是一個模長為 e^{\frac{p}{q}\ln |a|} ，輻角為 \frac{p}{q}\pi 的復數。
現在分別計算 (a^p)^{\frac{1}{q}} 和 (a^{\frac{1}{q}})^p 。
(a^p)^{\frac{1}{q}} ：
a^p=e^{p\ln |a|}(\cos p\pi+i\sin p\pi)=\pm |a|^p ，這裏當 p 為奇數時， \cos p\pi=-1 ，所以取負號。而 p 為偶數時， \cos p\pi=1 ，取正號。比如 (-3)^2=+|3|^2=9,(-3)^3=-|3|^3=-27 ，跟實數中是一樣的。
如果 p 是奇數，那麽 \arg a^p=\pi ，於是 (a^p)^{\frac{1}{q}}= e^{\frac{p}{q}\ln|a|}(\cos\frac{\pi}{q}+i\sin\frac{\pi}{q}) ，它是一個模長為 e^{\frac{p}{q}\ln |a|} ，但輻角為 \frac{\pi}{q} 的復數。如果 p 是偶數，那麽 \arg a^p=0 ，於是 (a^p)^{\frac{1}{q}}= e^{\frac{p}{q}\ln|a|}(\cos 0+i\sin 0)= e^{\frac{p}{q}\ln|a|} 。它是一個模長為 e^{\frac{p}{q}\ln|a|} ，輻角為0的復數（正實數）。
(a^{\frac{1}{q}})^p ：
a^{\frac{1}{q}}=e^{\frac{1}{q}\ln|a|}(\cos \frac{\pi}{q}+i\sin\frac{\pi}{q}) ，它是一個模長為 e^{\frac{1}{q}\ln|a|} ，輻角為 \frac{\pi}{q} 的復數。而根據棣美弗公式， (a^\frac{1}q)^p=(e^{\frac{1}{q}\ln|a|})^p\cdot(\cos\frac{p}{q}\pi+i\sin\frac{p}{q}\pi) ，與直接計算 a^{\frac{p}{q}} 是一致的，無需分類討論。
所以， 當 a<0 時，定義 a^{\frac{p}{q}} 是一個模長為 e^{\frac{p}{q}\ln|a|}=|a|^{\frac{p}{q}} ，輻角為 \frac{p}{q}\pi 的復數 。因為 |a|^{\frac{p}{q}} 是一個底數為正數的冪，指數部份是否約分不影響結果。而 \frac{p}{q}\pi 也是一樣的道理，是否約分都表示同一個輻角。所以在這種定義下無論指數是否約分，都不影響最終結果。
(-1)^{\frac{2}{4}}=[(-1)^{\frac{1}{4}}]^2 ，先看 (-1)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac\pi{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) ，再平方， =\frac{1}{2}(1+i)^2=\frac{1}{2}(1+2i-1)=i ，與直接計算 (-1)^{\frac{1}{2}}=i 是一致的。
