題主提到了矩形，估計是想問積分的時候的矩形高度取值、以及誤差為什麽會消失。
先兩句話回答題主的問題：
第一問：
問：矩形的高選取多少？一句話回答：矩形的高度可以在它所在的區間內 \small y 的最大值和最小值之間任意選擇，因為隨著區間劃分越來越細，最終誤差總是會消掉。
於是第二個問題就來了：我們怎麽知道誤差一定會消掉？
第二問：
為什麽不怕無限多個誤差之和為大誤差？一句話回答：簡單地說，這正是因為積分可以看作 求面積 ，所以用「細矩形」進行逼近時，產生的誤差也就是 面積的誤差 ，由於面積包含了 平方 運算，因此這個誤差對應的是區間長度的 二階 無窮小，對每個二階無窮小進行 一階 的無窮多次求和後，得到的仍然是一階無窮小，再取極限就歸為零了。
接下來具體說說一句話扯不清楚的細節。
為安全起見，我們只考慮正常積分，即積分區間為有限區間，且區間內沒有奇怪的發散點，並且滿足黎曼可積條件( 根據巨佬RD的回答補充此條…… )。
假設積分區間長度為 \small L ，將這個區間分為 \small n 等分，則每個小區間的寬度為：
\small \Delta L=\frac{L}{n}
對於第 \small i 個小區間、即 \small \left(x_{i-1},x_{i}\right) 上的矩形，我們先假設其高度為 \small y_{\min,i} ，如下圖：
可以看出，圖中紅色陰影部份面積面積 \small \Delta S_i 就是小區間上的真實積分值與矩形面積之間的誤差。我們還可以看出，這個誤差是 小於圖中紫色邊框的小矩形面積的 。
另外，不難想象，只要矩形高度在 \small y_{\max,i} 和 \small \small y_{\min,i} 之間取值，那麽表示誤差的面積 \small \Delta S_i 總是小於紫色邊框的那個小矩形 。
而紫色小矩形的面積為 \small \Delta L\Delta y_i ( 也就是 \small \Delta L\left( y_{\max,i}- y_{\min,i}\right) )
於是第 \small i 個小區間上的誤差為：
\small \Delta S_i\leq\Delta L\Delta y_i=k_{i}\Delta L^2
其中 \small k_i=\frac{\Delta y_i}{\Delta L}=\frac{y_{\max,i}- y_{\min,i}}{\Delta L} 為紫色矩形對角線的斜率
( 上面圖中畫的是函數在小區間內單調遞增的情形，但即使函數在小區間內不是單調的，上述關系也成立，題主可以自己畫圖看一看 )
於是整個積分區間上的總誤差為：
\small \Delta S=\sum_{i=1}^n\Delta S_i\leq\Delta L^2\sum_{i=1}^n k_i
我們假設所有的斜率 \small \left\{k_i\right\} 中最大的為 \small K ，則：
\small \sum_{i=1}^n k_i\leq nK
於是：
\small \begin{align} \Delta S&\leq\Delta L^2\sum_{i=1}^n k_i\\ &\leq\Delta L^2nK\\ &=\frac{L^2}{n^2}nK\\ &=\frac{L^2K}{n} \end{align}
對於積分區間有限、且沒有發散點的正常積分， \small L,K 都是有限值，那麽隨著 \small n\rightarrow \infty ， \small \Delta S 自然就趨於0了
所以最後誤差一定會被消掉。
