這個嘛，完全可以寫的更大膽一些，不光所有正數，其實定義好什麽是開方運算後，這個結論對於對於所有非零復數也是成立的。
如果有高三的數學基礎的話，就可以知道復數可以寫成模乘以一個相位，也就是 z=r \mathrm e^{i\theta}, r>0,\theta\in[0,2\pi) ，例如，復數 z = 3+4i=5\mathrm e^{i \arctan(4/3)}
那麽定義 z 的開方為 \sqrt z = \sqrt r \mathrm{e}^{i \theta/2} （註意其實 -\sqrt z 也是滿足開方運算的，但是和實數裏的運算一樣，我們將這個解舍棄）。
基於此定義，如果不斷地進行開方操作，便有
\lim_{n\rightarrow +\infty} z^{1/2^n} =\lim_{n\rightarrow +\infty} r^{1/2^n}\mathrm e^{i\theta/2^n} = 1
如果把復數的模 r 也寫成指數部份，很容易就可以看出，不斷地開方就是指數不斷地趨於0，最後得到的極限當然就是1了。
我覺得該結論應該還可以推廣到咸美頓的四元數。
不僅如此，在矩陣裏面也有類似的結論，對於一個滿秩對稱矩陣 A 而言，不斷地對 A 進行開方運算，最後得到極限是一個單位矩陣。如果稍微知道一點矩陣正交分解的知識，也能發現這個結論也是顯而易見的，由於A是對稱的，所以可以寫成
A=P'\Lambda P
的形式，其中 P 是正交矩陣， P' 表示 P 的轉置（也是P的逆矩陣）， \Lambda 是對角矩陣且每個元素都是正數，對角線上的元素為 \{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\} ，
對 A 的不斷開方其實就是對\Lambda 不斷開方，\Lambda 對角線上的所有元素最後趨於1，於是A變趨於單位矩陣了。這裏滿秩的限定就是保證\Lambda 的對角線上沒有零。該結論其實對於更廣泛的一類結論都成立，只要求滿秩矩陣 A 是正規矩陣就行了，即A滿足 A^H A=AA^H ，上標H指共軛轉置。
最後偏個題，可能會有人問你為什麽寫了這麽多呢，原因是我在回答
問題時，想到之所以會有人會困惑虛數i存在與否的根源還是因為不夠了解定義這個數的用途，雖然有了高中基礎便能夠大概知道復數的定義，但是不明白其實際意義。大一時就學習了矩陣，但是也不知道其意義在哪裏，只不過由於受眾相對較少，沒什麽人在知乎上問矩陣是否存在。不論整數、復數、四元數、矩陣，都可以看做是數學家定義出來描述一類規律的工具，並且為了更好的認識大自然，不斷地修修補補，進行擴充。仔細想想，矩陣和正數之間也並沒有那麽大的差距，所以幹脆多寫一些了。
