一個典型的對數正態分布曲線圖如下：
對數正態分布函數的密度函數是：
f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}{\sigma}}e^{-\frac{[ln{(x)}-\mu]^2}{2{\sigma}^2}}
求期望就是求解如下積分：
E(x)=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}{\sigma}}e^{-\frac{[ln{(x)}-\mu]^2}{2{\sigma}^2}}dx
這裏使用換元法簡化一下積分，令 t=\frac{ln(x)-\mu}{\sqrt{2}\sigma} ， x=e^{\sqrt{2}\sigma t+\mu}
那麽原積分轉化為
E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}{\sigma}}e^{-t^2}d{e^{\sqrt{2}\sigma t+\mu}}=\frac{e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(t-\frac{\sqrt{2}\sigma}{2})^2}dt
E(x)=\frac{e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(t-\frac{\sqrt{2}\sigma}{2})^2}d(t-\frac{\sqrt{2}\sigma}{2})
我們知道一個關於 \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ，所以
E(x)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}
變異數的推導過程類似，就是計算
E(x)=\int_{0}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)dx
E(x)=\int_{0}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}(x^2-2\mu x+\mu^2)f(x)dx
其中核心是算出 \int_{0}^{+\infty}x^2f(x)dx
