Plateau's problem（
普拉托問題）
這個問題看上去非常簡單，就是問在邊界固定的情況下，什麽樣子的曲面面積最小。這在物理上是一個很顯然的問題。根據
普拉托定律，你拿個鐵絲彎成邊界，然後吹肥皂泡就好了。但是這個在數學上來說，是一門學科，幾何測度論（
Geometric measure theory）的核心問題。
為什麽說這個問題難呢？我們考慮一個簡單的情形，即在三維空間中邊界為圓弧的曲面。這個問題答案很顯然，就是圓盤。但是從數學角度而言，這個不簡單。
通常的想法就是，我們可以把曲面視為一個從二維圓盤到三維空間的對映，然後利用變分法去考慮這個問題。但是這個方法有著很多毛病，其中最大的問題就是缺乏緊性。我們不妨試著跟著這個思路走一下，看看會出怎樣的問題。
1. 遍歷所有可能的曲面，然後取一個面積趨近於最小（infimum）的序列；
2. 找出一個收斂子序列；
3. 證明極限就是我們想要的曲面，即最小曲面。
在這三步計劃中，第二步就會出現很大的問題。比如：
【我是一個有理想的曲面，我的目標是要成為極小曲面】
【嗯，我的面積縮小了。感覺好棒！】
【我的面積又縮小了。可是為什麽我感覺怪怪的呢……】
【啊……肯定有……有什麽不對……啊……怎麽回事……我的面積明明縮小了啊……為什麽……我感覺好奇怪啊……不行啊……為什麽會變得這麽奇怪呢……啊……】
【圖片來源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】
【請紳士們嚴肅看待這些圖片，不要想歪了！也不要「我好興奮啊」 ！ 】
換句話說，即使是曲面的面積在趨近於\pi ，你所取得序列也可能長得非常奇怪，有很多很多的觸手（馬猴燒酒的好朋友），甚至於這些觸手可以觸及空間中所有的有理點。換句話說，你最後得到的東西的閉包是整個\mathbb R^3 .
看看，物理中多麽顯然的東西，在數學中就是這麽的讓人糾結。存在性就已經夠難了，更別說正則性（即最小曲面是否光滑等等）……這個問題直到20世紀中期才有解決方法。具體方法涉及專業知識較多，我自己也不是很熟悉，就不細說了。
其實這種問題很多。比如在給定條件（比如邊值）下的拉普拉斯方程式
的解的問題。這個問題在物理上也是幾乎顯然的，因為電勢就是解。但是在數學上這個問題並不簡單，一般而言需要Sobolev空間等知識進行解決。
【其實我真的不是來黑物理的2333333333 表打我(╯^╰)】
==============2015年5月6日10:31:54（馬德裏時間）============
那些說我黑數學的人你們夠了。請你們仔細思考一下：普拉托定律僅僅是經驗性定律，根本無法保證在所有的情況下結論都成立。而數學就是將特殊到一般的過程。
另外，下面的回答中已經有人補充了，數學上關於曲面面積的定義。在上面第二步中，我說找到一族收斂子序列，其實是很不嚴謹的。因為我沒有說是什麽收斂，也沒有說收斂極限在哪兒。事實上我們需要的極限必須是可求面積的曲面（請跟可求長度的曲線比較起來理解）。所以如何保證極限不會很奇怪，就是存在性的主要工作。
