前兩天看到了網上流傳的清朝的微積分課本中的幾頁,其中的所有數學運算式都是用中文書寫的。雖然整個過程不忍直視,但還是感覺蠻有趣的。於是我打算寫篇文章轉譯一下這幾頁。 [1] [2]
下面我們先來看到第一頁:
請您上眼。乍一看大家肯定覺得:這都啥啊?這樣的公式好醜,怎麽能記得住呢?而且這裏面居然還有完全不認識的字?比如一個雙人旁一個天念啥?
下面我就要使用魔法將這些醜醜的公式轉譯成能看的懂的形式了。
在轉譯之前,我們要明確的一個 大原則 是:在清朝, 「分數」的「分子」是分母,「分母」是分子 。也就是說, 如果看到「分數」,則我們取它的倒數就可以得到現代意義下的分數 。
提示: 這條大原則全文適用 。首先映入眼簾的是:
戍=天^{天}\tag{1}
這明顯是一個函數,它轉譯成英語就是:
y=x^x.\tag{2}
啊,看著舒服多啦~這道例題提到了「...求其微分之式,則可依blabla...」。害,無所謂依啥了,我們自己就可以搞定。求 (2) 這個函數的微分函數比較容易的。首先將 x^x 覆寫一下:
x^x=\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right).\tag{3}
進而成立:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( x^x \right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right)\right)=\exp\left(x\cdot\ln\left(x\right)\right)\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right)=x^x\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right).\tag{4}
即:
{\mathrm{d}}y=x^x\cdot\left(\ln\left(x\right)+1\right)\,{\mathrm{d}x}.\tag{5}
與:
做比較可以得到以下破譯密碼:
第一個公式的破譯工作就完成啦~很順利是不是!但是,下一個公式就很難破譯了。沒錯,就是它:
這個公式,堪稱我破譯工作中最可(**)愛(**)的一個。先不管天啊,地啊啥的。從剛才的破譯密碼中我們得知的資訊是 雙人旁 =\mathrm{d} ,於是問題就出現了這裏面有 \mathrm{d}戍 , \mathrm{d}地 以及 \mathrm{d}天 。咦?這麽快就跳到全微分啦?但仔細不看不對啊,這跟全微分完全不沾邊啊。於是我推測,這不是全微分,而是剛才例題的推廣,因為我在下面的結果中看到了天的地次方: 天^{地} :
此處的天和地不能再理解為 x 和 y 了,而是應該理解為 f\left( x \right) 與 g\left( x \right) ,說白了,就是對函數:
y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right).\tag{6}
求導(天^{地} 這個表達簡直了。。。哈哈哈哈哈哈哈)。
像破譯第一個公式一樣,這裏我們如法炮製即可。首先將 f^{g\left( x \right)}\left( x \right) 覆寫一下:
f^{g\left( x \right)}\left( x \right)=\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right).\tag{7}
進而成立:
\begin{array}{ll} \display style{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\right)} & \display style{=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right)\right)}\\ & \display style{=\exp\left(g\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)\right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right)}\\ & \display style{=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right).} \end{array}\tag{8}
即:
{\mathrm{d}}y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(g'\left( x \right)\cdot\ln\left(f\left( x \right)\right)+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\cdot f'\left( x \right)\right)\,{\mathrm{d}x}.\tag{9}
將式 (9) 進一步化簡可得:
{\mathrm{d}}y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right)\cdot\left(\ln\left(f\left( x \right)\right)\,{\mathrm{d}g}+\frac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,{\mathrm{d}f}\right).\tag{10}
現在我們將 y=f^{g\left( x \right)}\left( x \right) 除到左邊之後與之前所提到的 大原則 一起可得:
\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{g\,{\mathrm{d}f}}{f}+\ln\left(f\right)\,{\mathrm{d}g}.\tag{11}
將式 (11) 與:
做比較可得:
這樣第一頁我們就完全破譯啦!下面開始第二頁的破譯~
這一頁的破譯工作會異常輕松。首先我們看到了「積分」這個字眼,並且他說「啥啥(就是那個怪怪的公式),要必為簡式」才可求其積分。所以我們不妨先來看看:
這是個啥?
由之前所總結的破譯密碼可知,天一定代表一個「變量」。而且我們還知道長得像垂直符號的那個符號等價於加法,因此我們推測:
而甲,乙,丙...啥的自然表示的就是常數 a,\,b,\,c... 等等。至於寅卯午巳這些字,如果你願意,可以定義為 \alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta 等等,它們也都表示常數。因此,我們可以將其破譯為(指數上註意 大原則 ):
x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x\left(a+b\cdot x^{\beta}\right)^{\frac{\delta}{\gamma}}.\tag{12}
同理,我們可以將:
破譯為(指數上註意 大原則 ):
x^{\alpha+\frac{\beta\cdot\delta}{\gamma}-1}\,\mathrm{d}x\left(a\cdot x^{-\beta}+b\right)^{\frac{\delta}{\gamma}}.\tag{13}
聰明的你一定發現了:
表達的就是不定積分的分部積分法:
\int u\,\mathrm{d}v=u\cdot v-\int v\,\mathrm{d}u.\tag{14}
破譯密碼為:
最後是第三頁:
有了之前兩頁的經驗,相信這一頁大家一定得心應手啦。在這一頁中,所有的漢字數碼與阿拉伯數碼的含義是一致的。而天,地,人(這應該是人吧)表示的都是變量。因此我們可以設:
天:=y,\quad地:=z ,\quad 人:=x.\tag{15}
因此:
表示(註意 大原則 ):
\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{x-c}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\left( x^{\frac{1}{2}}-c\cdot x^{-\frac{1}{2}} \right)\,\mathrm{d}x.\tag{16}
而:
表示(註意 大原則 ):
\frac{y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-2\cdot c\cdot x^{\frac{1}{2}}+C.\tag{17}
顯然,式 (17) 是式 (16) 的一個原函數。而丙上面加一個點表示的是積分常數 C ,與普通的丙表示的 c 是不一樣的(二丙,看起來像麻將)。
現在讓我們看到最右邊的:
這表示的顯然是(註意 大原則 ):
\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\right)^2=\frac{4}{\sqrt{a}}\cdot\left(\sqrt z+c\right).\tag{18}
我一度認為左邊是二階導數。。。後來一想不對,如果是二階導數的話「分母」上的二應該在雙人旁後面。因此:
表示的是(註意 大原則 ):
\frac{2\cdot \mathrm{d}y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{c+\sqrt{z}}}.\tag{19}
然後後面說可以將 c+\sqrt{z}:=x ,進而:
表示的就是(註意 大原則 ):
\frac{y}{\sqrt[4]{a}}=\frac{2}{3}\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{3}{2}}-2\cdot c\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{z}-2c \right)\cdot \left( c+\sqrt{z} \right)^{\frac{1}{2}}+C.\tag{20}
參考
- ^ https://www.bilibili.com/video/BV1pU4y1T7bt?from=search&seid=6680661053013392242&spm_id_from=333.337.0.0
- ^https://www.youtube.com/watch?v=BA3f_-J_Gmc&t=408s