你的直覺是對的，數學不好的確是思維習慣不好造成的，唯一不足的是誤用了智商這個詞，其實用「思考能力的高低」可能更好些。
在智商這個詞上，經常有人會把因果顛倒
常常看到有人評價別人能力差是因為他的智商低，這完全擰巴了。
盲人摸象的寓言我們都學過，其實智商就是摸象的瞎子之一，不過摸得是「人類思考能力」這只大象。要知道人類思考的原理可遠比大象的外形復雜多了，但很多人還會犯「摸到象腿就說大象像柱子」這樣的錯誤，「智商」就是最常見的誤用。
智商只是一個局部測量量，測智商就像測體溫，在不同的位置測，結果是不同的。它只能反應局部的、表面的狀態，盡管可以作為系統整體效能的參考，卻不能說系統整體都是這樣的，更不能說這就是系統效率高低的原因。
還是用體溫來做類比，疾病和體溫是因與果的關系，人體受到病菌入侵使免疫系統啟用，促使體溫上升，才使測體溫時的溫度偏高，所以體溫高不是患病的原因，是表面癥狀！
同樣，不同人的思維習慣有好有壞，好的思維習慣會提高 正確率和反應速度 ，在測智商時分數會偏高，所以思維習慣好才是根本原因，智商高只是表面的結果。
總之，智商是結果、是癥狀，而不是思考能力高低的原因，不要顛倒因果。
為什麽物理很好，但數學卻不理想？
因為你還不具備好的數學思維習慣，數學比物理要抽象一些，需要進行更多的數學思維訓練才能掌握。
物理比數學好學一點，是因為物理是具體的，所有的物理定律都有現實中的物理現象來對應，只要你註意觀察和實驗，就可以理解物理規律。很多人在思考物理問題時，借助於頭腦想象和推演就可以得出結果，不需要用筆來算。
但是數學要難一些，因為對大多數人來說數學是極為抽象的，在他們眼裏，數學是數、是公式、是一大堆難記的定理。在思考數學問題時，必須依賴於紙筆去演算和推理結果，數學規律也是要靠反復做題的題海戰術來熟悉，無法做到憑大腦的想象就能直觀的「看到」結果。
題海法的優點是簡單易行，教學上人人可做，但缺點是思維效率極低，高昂的學習成本和思維成本，毀掉了無數人對數學的興趣和自信！以至於很多人懷疑起了自己的智商。
要想提高數學的思維效率，最關鍵的是用正確的數學思維習慣來 降低思考的成本 ，最終做到不借助紙筆演算就能思考數學問題！
真的能做到不用紙筆來思考數學問題嗎？
其實數學家都是這樣的，接下來我用三個數學大神作為案例來分析他們是如何做到的。
「數學王子」——高斯
「最後的通才」——龐加萊
圖片來源：Henri Poincaré: the unlikely link between Einstein and Picasso
「數學的莫札特」——陶哲軒
他們是如何做到不用紙筆來思考數學問題的呢？
其實也沒有什麽奧秘，就是因為他們的計算量遠遠超過我們常人，而不是因為他們先天的基因好，就像賣油翁所言：「無他，但手熟爾」。
就這些？熟能生巧？你TM的在逗我！！！
當然不是這麽簡單了，如果只有這些，人人都可以做大神了？
好吧，先說結論，再慢慢展開分析：
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他們都有正確的數學早期教育
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他們都有最持久的動力系統
- 他們都有遍歷整個領域的習慣
請牢記這三條，這些因素讓他們的計算量遠遠超越常人，在很小的年齡就具備了內在的視覺洞察力，成為普通人難以企及的數學「天才」。
什麽是內在的視覺洞察力？
以漢語為例，註意下面這三個字
靜 夜 思
你腦中的第一反應是什麽：
中國人因為熟悉漢語，所以可以把一首詩壓縮成一個短語，當聽到這個短語時就能喚起這首詩所對應的意境，也就是視覺化的直觀思考。就好象歐美人聽到"the die is cast"，就會浮現出凱撒渡過盧比孔河的情景。
圖片來源：Caesar Crossing the Rubicon
同樣，數學演算也可以出現視覺洞察力。
在普通人眼裏，數學公式代表一種運算，只有算了一遍才知道怎麽回事。
在數學家眼裏，對數學公式和各種可能的結果極為熟悉，數學已經變成視覺化的模組。
也就是說，經過大量的數學訓練後，在下意識裏就可以把數學元素視覺化（註意，幾何化只是其中一種），思考過程是直觀性的，而不是邏輯性的。
以龐加萊為例
數學家達布（Darboux）宣稱他是un intuitif（直覺的），論證說這可以從 他經常用視覺表示來工作 顯示出來。他不關心嚴格性，且不喜歡邏輯。他相信邏輯不是發明之道，而是一個結構化想法的方法，而且邏輯限制思想。這是直觀化思維的特點，思維經常大振幅的跳躍，不被邏輯所約束。這也是他總是能融會貫通各個領域、成為通才的原因。
另一個數學家的例子是拉馬努金。
圖片來源：Google Doodle 節日標誌探秘
印度歷史上最著名的數學家之一。沒受過正規的高等數學教育，沈迷數論，尤愛牽涉π、質數等數學常數的求和公式，以及整數分拆。慣以直覺（或者是跳步）匯出公式，不喜作證明（事後往往證明他是對的）。他留下的那些沒有證明的公式，引發了後來的大量研究。軟件行業的人都知道，程式寫時間長了，眼裏的程式碼都是系統中跳動的模組，而整個軟件系統則是一個復雜的生態系。其實各行各業的專業人士都有這樣的「內在的視覺洞察力」。
總之，這些內在的視覺洞察力是後天反復運用，自然形成的，只要具備正常的人類基因都可以做到。
有人可能會說：這些我明白了，是不是只要下苦功夫都可以成為那些天才？
不是滴！首先他們普遍都「拼爹」，其次他們下了功夫，但不是苦功夫。
正確的數學早期教育
如果看過很多天才的傳記，你會發現他們都「拼爹、拼娘」。
也就是父母的職業背景和教育方式，對他們有極為重要的影響。父母的影響之大被很多人誤以為是基因的遺傳，其實不是，這是教育在起作用，是屬於 習慣的「遺傳」 。
只是絕大多數的人不知道如何正確的教育，使上一代的好習慣無法復制到下一代身上，出現了「富不過三代」的現象。
而高斯、龐加萊和陶哲軒的父母則有意、無意的進行了正確的早期數學教育。這為他們在數學界的頂尖地位奠定了堅實的習慣基礎。
這個早期教育有多早呢？是不是胎教的時候就開始？
也沒有那麽早，最合適的時間大約在1歲到3歲之間，是在幼兒形成語言的時期同時進行。
高斯的幼年
高斯的父親因為具有初等算術的能力，曾做過 會計 。3歲那年，他父親正在給工人們發薪金，小高斯突然指出「爸爸，你算錯了！」，經過檢查小高斯是對的，這讓周圍的大人目瞪口呆。
成年後的高斯說， 在他學會說話之前就會計算了 。這說明在高斯的幼年經常接觸到各種數碼，無意間讓他很小的年齡就掌握了初等算術。有這樣一個有數學套用背景的父親就是拼爹，但高斯的父親有個缺點就是目光短淺。
其實很多時候，母親比父親更重要，因為只有溫柔善良的母親才有足夠的耐心去教育孩子。高斯曾說過「我的母親是個非常善良的女性，我非常敬重她。」高斯有這樣的母親也是在「拼娘」。
看到這，給各位男同胞一個擇偶建議，如果你希望孩子將來能成為「天才」，就千萬不要找缺少耐心和愛心的女孩子，真的會毀掉你和孩子的一生，不信你試試！
龐加萊的幼年
龐加萊的父親萊昂是生理學家兼醫生、南錫醫科大學教授，龐加萊的母親非常善良、聰明、慈愛，把所有的愛心和精力都用在他身上。因為耐心的教導，龐加萊的智力發展的很快，很早就學會說話。
圖片來源：http:// gw.geneanet.org/pierfit? lang=fr
童年的龐加萊因為運動不協調、經常得病，所以很多時間都用來讀書，讀書極快，而且據說過目不忘。有趣的是，成年後的龐加萊參加比奈的 智商測試 ，發現分數低的像低能兒。
圖片來源：Henri Poincar , le nouveau dossier multimdia CNRS/sagascience est en ligne
龐加萊的視力很差，主要靠聽轉化為想象的方式來理解，這種從小到大的訓練使他具有極強的直觀思維能力。他總能「看到」抽象概念所表述的「東西」，並習慣以圖形即幾何的方式來處理問題，以充分利用數學直觀。
陶哲軒的幼年
陶哲軒的父親陶象國和母親梁蕙蘭畢業於香港大學，陶象國是一名兒科醫生，梁蕙蘭是 物理和數學 專業高材生的，曾做過中學 數學教師 ，這是典型的拼娘。
2歲時，他們發現陶哲軒拿著字母積木 教 比他大的小朋友 數數 ，他把玩具當作學習的工具了。
在幼稚園的18個月裏，母親領他學完了 小學數學的全部內容 ，事實上，母親所做只是引導和刺激，而不是「教」。
作為英語國家的學前教育典範，來自美國的【芝麻街】兒童系列節目在當時大受歡迎。陶象國夫妻把【芝麻街】作為陶哲軒的啟蒙教材。
就這樣，陶哲軒一面看電視節目，一面自己學習，不到2歲就學會了英文字母。他很快學會拼寫，能用積木拼出單詞「狗」或「貓」。2 歲多時，陶哲軒對父親辦公室裏的一台打字機發生興趣，不辭辛苦地用一個手指頭敲出了兒童書上一整頁的內容。
陶象國夫婦認為，在很大程度上，陶哲軒是看【芝麻街】起步的。後來，陶象國在一次采訪中，曾推薦大陸引進這個有益於早期兒童智力開發的趣味節目。
回顧一下這三位「天才」在早期教育的優勢：
基本算術能力：高斯和陶哲軒在掌握說話之前就具備。
語言表達能力：龐加萊和陶哲軒很早學會。
識字閱讀能力：龐加萊和陶哲軒很早學會，高斯則缺少資料。但也不會差，因為他在大學時還想從事人文方向。
如果你想讓孩子在數學方面的能力有優勢，就可以盡早培養他算術、語言和閱讀的能力。
有人可能說：這沒什麽大不了啊！我（或我的孩子）小時候也這樣，怎麽沒有成為天才？
因為很多人的教育方法沒有隨著孩子成長而調整，雖然可以在早期教育做對，但是在童年期教育卻做錯，最終功虧一簣。還有更多人培養方法不合理，大部份人不是在培養孩子，而是在催逼孩子，這樣只能適得其反，還不如不培養，放任其自由發展。
童年期的數學習慣培養
幼兒期只是打基礎，很多父母都可以做到，但是數學能力的訓練只有到童年期才是最關鍵的，做好了就會進入能力爆炸時期，做錯了就會「泯然眾人矣」。
為了說明如何在不同階段用不同的教育方法，我們以單車的學習為例：
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輔導階段：需要父母手把手的訓練，直到能穩定車身不跌倒為止，做錯了要警告。
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跟隨階段：孩子跟隨父母騎行，學會交通規則、處理各種路況和意外，危險情況要警告。
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探索階段：讓孩子自己去嘗試，孩子會享受探索的樂趣，樂此不疲的到處騎行，多鼓勵和認可。
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提升階段：騎行能力已經具備，多數人到此為止，如果孩子想挑戰高難度，放手讓他去試錯。
你看，孩子透過單車可以 探索更廣闊的領域 ，這種體驗是無以倫比的。
而大部份家長往往用一種方法走到黑，把最初的警告和保守手段一直用到底。孩子很快就對騎車失去興趣，也不願意挑戰更高難度。正是因為這樣，我們大部份人的騎車能力僅能達到夠用的水平。同樣，我們大部份人的數學也是夠用的水平，本質的原因是相同的。
不同的教育方法效果有天地之別
我們以基礎數學的加法運算為例，來看看3種掌握數學的方法，請思考不同方法的永續性。
老師主導的教學法：
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老師講解10以內的加法規則。
- 老師要求學生背誦加法表。
- 老師提問考察學生理解情況。
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老師布置大量練習，指出學生的錯誤和責令修改。
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老師布置家庭作業讓學生課下練習。
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老師安排階段性考試，進行成績排名。
- 老師講解10以上的加法規則。
師生互動的探索法：
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老師引導學生透過觀察演繹出加法規則。
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老師引導學生提出各種問題。
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學生嘗試各種組合，自己尋找加法的規律，並解釋原因。
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學生有問題和老師一起分析討論。
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老師幫助學生設定更高的挑戰目標，鼓勵學生課下去研究。
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學生提出自己的理論，運用加法規則去驗證自己的想法。
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學生遇到問題自己尋找解決方法。
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老師讓學生研究10以上、100以上甚至更高位數的規則。
- 老師讓學生展示自己的研究成果。
「天才」的野蠻成長：
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經常把數碼進行任意的排列、組合，以此作為天馬行空的娛樂方式。
- 每天滿腦子轉來轉去的都是數碼和比例關系的直觀影像。
- 今天母親教了加法規則，真的很有趣，拿我的那些數碼試一遍。為了驗證規律，把自己已知的 所有數碼 都嘗試用加法演算一遍。
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每次用的數碼都比上次更難，先從10以內嘗試，一直嘗試到100以內，發現加法規律仍然成立。
- 嘗試將數碼從1加到10進行累加，偶然發現如果將數列的首尾對稱相加，計算效率會極高！
- 嘗試將已知的 所有數碼 都用新方法累加，例如1加到100，或任意截取一串數列，發現依然成立，效率很高。
- 好棒！自己的演算工具箱又多了一個新工具！
- 這兩天沒事就用新工具演算各種等差數列，調整數列之間的公差，發現工具依然適用，更興奮了！
- 再嘗試變換加法的運算順序，偶然發現其逆運算——減法規律。哎喲！不錯，這個diao，超級興奮！
- 繼續演算已知的所有數碼來驗證減法規律，並興奮的跑去告訴媽媽，我修改了加法順序，發現了新運算規律！
- 媽媽很驚訝，我還沒教你減法呢？
以上情節皆屬虛構，若有雷同，純屬巧合！
但我相信你能感覺到：
第3種方法最能激發出的蓬勃和持久的動力。
第2種的永續性雖然很好，但不如第3種，因為沒有老師的參與，學生仍有可能打回原形。
第1種的永續性則是最差的，也是最普遍的數學教育，把大部份人的數學自信心給毀了。
現在你能明白為什麽我們奧賽總拿獎，卻一直沒有出優秀數學家了吧！
奧賽是技能訓練，並不是獨立自主的探索發現過程。賽前拼命刷題，各種輔導，但當奧賽結束了，學生依舊打回原形。
而天才是永不停歇、狂飆猛進的，哪會有停下來的時候呢？！
後面我還會再分析天才的野蠻成長過程，這裏稍微從數學裏出來一下，看看神經科學。
早期的數學教育為什麽重要？
因為這是大腦發育的關鍵期，在大腦發育的早期階段，人們會損失大量的灰質細胞，只有最常用的灰質細胞會保存下來。從下面的圖中，你可以看到隨著年齡增加，人腦的灰質比例在逐漸減少。也就是年齡越小人腦的可塑性越強，年齡越大可塑性越弱，到20歲時主要習慣已經逐漸固化下來了。
圖片來源：Paul Thompson's Research Publications
在關鍵期建立起數學習慣，就像在曠野上修建了高鐵網絡，成為一個人終生的思維基礎設施。
錯過了關鍵期，雖然還可以建立，但就像在人口稠密的地區修建高鐵，付出的成本要多得多。人在成長過程中很難再有這麽多時間和精力訓練出同樣的效果。
這樣的高成本，也讓很多人 誤以為 自己或者自己的孩子沒有數學的天賦，或者堅信別人的成功是因為基因好，而自己沒有這個基因。
就連那些基礎好的人也誤認為自己具有某種「天賦」。只是奇怪的是，這個優勢基因卻遺傳不給孩子。高斯、龐加萊、愛因斯坦等大部份科學家的孩子都默默無聞，完全沒有父輩的建樹！即使是科學界最輝煌的伯努力家族和居禮家族，也沒有擺脫三代而亡的命運。所以從歷史科學家的數據看，基因導致天賦的理論是站不住的。
為什麽科學家沒把自己的孩子培養成科學家？
原因很簡單，就是因為科學家雖然精通科學，但對教育卻也是外行，他們同樣會犯所有父母都會犯的教育錯誤，甚至更嚴重！至於是哪些錯誤，到後面再詳細分析。反而很多普通父母無意間作對了一些事情，播下了「天才」的種子，培養出劃時代的大科學家。
總之，雖然具備正常的人類基因都可以訓練出高效的數學思考能力，但是在不同時期培養的成本卻差距極大。成年後的人雖然也可以訓練出同樣的能力，但是卻承受不了所消耗的成本。
成年後還有希望嗎?難道成人完全沒有優勢嗎？
看到這，悲觀者會說：」雖然不是基因的問題，但我還是錯過了關鍵期，看來我是沒有希望了，哭死！「
沒有必要哭，等我寫完了你就知道，成人也有兒童無法比擬的巨大優勢，很多能力的訓練成本也遠低於兒童。舉個最簡單的例子，管理、領導、運作等能力的訓練，成年人完全可以秒殺兒童。因為對人性的把握、對業務的理解、對社會的閱歷都需要長時間的試錯才能學會，這些兒童是不可能超越的。
再說的形象一些，還是以鐵路為例：
圖片來源：維基百科，東京的地下鐵系統
盡管在城市裏修建鐵路的成本遠高於在曠野上修建，但在城市裏有很多已經建好的鐵路，只要在已有的路線網絡上建立一個很短的連線，就可以打通不同的網絡，拓展出全新的路線。也就是說，在城市裏連線不同網絡的成本，遠低於在曠野上把稀疏的鐵路網連線起來的成本。
所以， 成人遷移知識和技能的成本很低，更擅長於跨界。
不要把基因、年齡、性別、父母、出身、專業等條件，作為自己和他人不可能成功的限制，這其實是給自己設定了思維的天花板，自己限制住了自己的自由。不要在乎悲觀者的冷嘲熱諷，讓自己與更多的領域建立連線，勇敢的去跨界！
繼續回到數學家身上。
為什麽數學天才在童年期會野蠻成長，進入能力爆炸？
前面提到的「天才」野蠻成長，看上去不可思議，但其實每個人都或多或少的經歷過，特別是在自己所愛好的領域。
例如玩遊戲，總有一個時期仿佛自己著了魔一般，不單白天滿腦子在想，連晚上睡覺做夢都在想。那些你熟悉的內容，揮之不去的在腦子裏不斷的自動演繹。經常會有絕妙的創意蹦出來，迫不及待的要去嘗試一下。如果創意被驗證，並且取得了意想不到的效果，那種欣喜若狂所帶來的愉悅感完全可以超越一切，仿佛整個世界都在你的掌握之中。
對於那些天才來說，這種體驗在他們的童年期每天都會上演。那些在我們看來極為枯燥和艱辛的大量運算，在他們的眼裏完全是一種享受。
這樣說可能很多人不信，其實當那些沈溺於遊戲的孩子，沒日沒夜的重復操縱著螢幕上的小人、機械而瘋狂的點著滑鼠、眼花繚亂的按動鍵盤時，那些家長也不相信，這些破爛遊戲到底有什麽好玩的？！！！
完全不能理解那些繡十字繡的人，多枯燥啊！
那些喜歡長跑、爬山、騎行的人，都是自虐狂嗎？
你說黑龍江邊冬泳的那些人到底是怎麽想的？
……
凡是有愛好的人，總會遇到這種詫異和不理解的眼神^_^
可能你已經感覺到我要說的是什麽了。
對！我要說的就是成癮現象，只不過這不是藥物成癮，而是一種 成就成癮 。從醫學上看，這種高頻率反復從事行為的表現，就是一種行為強迫癥。不過，你不要被強迫癥這個詞嚇倒，這完全是良性的，不會影響健康。
當然也有一些天生大腦發育受損的人，例如一些自閉癥患者，也會存在類似的行為強迫癥。無法控制的重復思考或反復做一件事，持續的時間長了，就無意間成為像「雨人」那樣的白癡天才（也叫學者癥候群，學者們不要不高興，世俗就是這樣看你們的^_^）。
維基百科上有一個「有時被認為患有自閉癥譜系障礙的歷史性人物」的列表，各領域的神人們，什麽愛因斯坦、拉馬努金、特斯拉……希特勒等都赫然在列。不過我覺得，這可能是醫生把天才和自閉癥搞混了。
不論是成癮，還是自閉癥，他們都有個共同點，就是長達數年的、持續的、反復做一件事。這就是成為天才的核心條件，任何人都不可能逾越。
悲觀者： 這得多累！多苦！！多沒有技術含量啊！！！
恰恰相反，對當事人來說，一點兒不累，一點兒不苦，而且天才的動力系統和普通人不一樣，其動力系統的結構是最具有技術含量。
普通人在外部壓力和認可下才能出成績，他們的動力系統是從外部獲取的，外部因素一旦消失，動力就會枯竭，永續性很差。
我們看看李開復老師是如何說的：
我入學時，學校安排我加入了一個「數學天才班」，那裏集中了哥大所有的數學尖子，一個班只有七個人。我們在那裏學習微積分特別理論，但很快，我就發現我的數學突然由「最好的」變成「最差的」了。這時我才意識到，我雖然是「全州冠軍」，但是我所在的州是被稱為「鄉下」的田納西州，當我與這些來自加州或紐約州的真正的「數學天才」交手時，我不但技不如人，連問問題都膽怯了，生怕我的同學們看出我這個「全州冠軍」的真正水平。這麽一來，我越來越落後。當我上完這門課後，我深深地體會到那些「數學天才」 都是因為「數學之美」而為它癡迷 ，但我卻並非如此。再看看真正的數學「天才」從童年開始的成長歷程。
高斯童年到成年的成長案例
有三個人對高斯童年的能力成長有巨大的影響：
高斯的舅舅佛烈德利赫是一個成功的紡織商人，他發現了高斯的才華，並經常用很生動的方式來啟蒙小高斯。如果不是舅舅經常勸導高斯的爸爸往學術方面發展，高斯很可能會成為園丁或者泥瓦匠。高斯後來曾遺憾的說，舅舅的早逝使"我們失去了一位天才"，因為舅舅廣博的思想對他的成才有非常重要的影響。
高斯的小學老師位元納則是一個非常苛刻的老師，以虐待小孩著稱，他在高斯9歲（3年級）時開始教數學，有一次他給學生出了一道題，就是那個家喻戶曉的1+2+……+99+100的數列求和題。其實根據E·T·貝爾的考證，位元納出的題目更難，是計算81297+81495+81693+…+100899這樣的大數等差數列的和，數列公差為198，項數為100。尼瑪，這老師也太壞了！
位元納沒想到，他剛把題目寫完，高斯就已經算完，根本沒寫演算過程，直接就把答案寫到了石板上。位元納很震驚的發現答案是正確的！這說明高斯不僅具有極為熟練的大數心算能力，而且計算技巧已經非常嫻熟，這絕不是普通孩子 靠按部就班的學習能做到的 。位元納說："你已經超過了我，我沒有什麽東西可以教你了。"就從漢堡買了很多更深的數學書籍讓他學習。
另一個對高斯有重大影響的是位元納的助手巴特爾斯（Bartels），不要小看這個助手，巴特爾斯後來到喀山大學教書，是另一個大數學家羅巴切夫斯基的老師，後來羅巴切夫斯基和高斯的得意門生黎曼一起開創了非歐幾裏得幾何，為愛因斯坦建立廣義相對論提供了有力的數學工具，當然這是後話。
圖片來源：百度百科之黎曼幾何
巴特爾斯只比高斯大8歲，同樣酷愛數學的他對高斯最大的影響就是經常與高斯討論問題，這是至關重要的訓練。數學討論是一種非常有效的人才培養模式，雖然他們進行的不是後世的討論班Seminar形式的訓練，但是兩人的討論同樣具有頭腦風暴和學術訓練的效果，高斯從此開始了真正的數學研究，而他們的友誼也保持終生。
透過長期高強度的數學計算，高斯不僅計算能力極強，而且非常善於發明數學工具，來簡化自己的計算過程。剛才說到高斯9歲時就掌握了等差數列的速算方法，他在18歲時又發明了最小平方法，極大簡化了計算過程。後來，勒壤得在54歲時也發明了最小平方法，並早於高斯發表，獲得了優先權，但這個工具高斯已經用了十幾年。高斯類似的工具發明和定理發現數不勝數，很多他都沒有公開發表，直到別人公開同類發現後，高斯才冒出頭來說：這玩意我早就發現和使用了，因為忙於它事沒有公開！
有人曾估算，如果高斯當時能及時發表他的研究成果，整個高等數學可以向前推進50年！但高斯是個完美主義者，他拒絕釋出不完整和有瑕疵的作品。他的很多成果都來自內在視覺洞察力，是直覺形式的結論，雖然他自己長期使用，已被驗證沒有問題，但並沒有經過邏輯嚴密的證明。而高斯跑的太快，完全不想停下來，把寶貴的時間消耗到瑣碎無比的嚴密證明上。如果高等數學真的因此被推遲了50年，這可真是整個科學界不可估量的巨大損失！
我前面說道，數學家可以不借助紙筆來思考數學問題，這其實來源於他們高強度的數學計算，高斯是這方面的佼佼者。可能很多人會好奇，高斯的計算強度究竟有多大？我們以1818年高斯擔任丹麥的測地工作為例，整個工作持續了8年，高斯白天測繪，晚上計算，他曾估計測繪所畫的圖就有 100多萬張 。野外實測數據匯總後，全部計算工作由高斯負責，隨便兩個點都是用最小平方法透過冗長的計算獲得，一般需要一個計算能力中等的人計算2～3天才能算完，共有3000多個座標點，總計算量需要這個人一天不休的計算 10年！
圖片來源：科學網—相對論與黎曼幾何-4-內蘊幾何
但這樣高強度的計算也帶來豐厚的回報，高斯在大地測量中的工作，發現和驗證了曲面幾何中的大量規律，寫出了20多篇論文。特別是1827年高斯發表了【關於曲面的一般研究】，標誌著微分幾何的誕生，也為非歐幾何打下了堅實的基礎，而非歐幾何則在100年後為廣義相對論提供了數學工具的支持。
圖片來源：科學公園 ： 牛頓時空觀的局限性與廣義相對論
小結一下高斯的成功經驗：
看到這，很多人的心已經「哇涼哇涼」滴了。
悲觀者： 哎媽！連高斯大神都這麽拼，這麽下苦功，看來我的數學是徹底沒戲了！
大神高斯： 你丫才下苦功，你全家都下苦功！沒聽前面說嗎？這是成癮癥狀，我這是嚴重的 計算成癮 ！誰要是能靠毅力能幹這樣高強度的事情，誰就一SB！
呵呵，誇張一下。
其實高斯與那些連續幾個通宵打遊戲的宅男們沒有太大區別！他們不是在下苦功，他們都是深陷在強烈的好奇心和成就感裏無法自拔。
還有一個數學大神歐拉的作死故事：
1735年，28歲的歐拉發現了新的行星軌域計算方法，用了三天時間計算一個彗星的軌域，結果導致了右眼失明。高斯的評價是「如果我用那個方法計算三天，我的兩只眼睛都會瞎掉！」
圖片來源：維基百科歐拉
見上圖，大神歐拉右眼已瞎！有些勵誌書還把歐拉這件事寫成勵誌故事，其實這種嚴重沈迷者隨便跑到哪個網吧都能抓一大把！歐拉的瘋狂做法屬於典型的作死，彗星又不是要撞地球，什麽計算不能慢慢算，非要挑戰極限在三天內拼命完成？他的計算癮和好勝心實在太重了！歐拉後來沒有吸取教訓，最後他的雙眼果然全瞎，他的計算癮已經到了損害身體的程度，這就是病，得治！
難怪有醫生會懷疑這些天才都有自閉癥和強迫癥，好像也不無道理。
說到成癮，總讓我想起2010年Chinajoy上，那位美女環繞也目不斜視的淡定哥。
圖片來源：Chinajoy驚現淡定哥
用了很多的篇幅來說高斯，並不是為了突出他的計算量，而是為了說明不是基因，而是 持久的動力系統才是創造天才的關鍵所在！ 高斯驚人的計算量只是這個系統自然而然的成果物。
整理一下到目前為止的思路：
可能你已經發現了，我前面提出的問題——真的能做到不用紙筆來思考數學問題嗎？——其實已經得到解決了，還順便論證了天才的形成既不是靠天賦、也不是靠勤奮，而是靠持久的動力系統。
好了，接下來該說龐加萊了，他的案例對成人學好數學有更強的借鑒價值，因為除了穿越者，沒有人能回到童年重新開始。
通才龐加萊的成長歷程
前面提到「成人遷移知識和技能的成本很低，更擅長於跨界」，那如何才能實作從自己的專業領域向數學遷徙呢？
龐加萊就是很好的案例，因為他最擅長跨界，被譽為最後的通才（The Last Universalist）。
E.T.貝爾在【數學精英】中指出：
在今天起步的任何人，都不可能全面理解數學的四個主要部份——算數、代數、幾何、分析——中的兩個以上，更不用說做出高質素的創造性工作了，對天文學和數學物理就更談不上了。十九世紀八十年代，在龐加萊的偉大事業開始時，人們就普遍認為高斯是最後一個數學通才。
所以這裏的通才並不是指那種涉獵廣泛、樣樣精通的人才，而是特指一類頂尖大數學家：
他們具有極廣的視野，不僅在數學內的算數、代數、幾何、分析等領域開天辟地，而且在天文學、物理學、經濟學等領域，都有影響極深的開創性成果。
例如目前公認的三大數學家阿基米德、牛頓、高斯，都是這樣的通才大數學。
列一下他們的稱號，看看他們的廣博程度。為什麽不列成就只列稱號？因為實在太多了！
而龐加萊就是就是繼高斯之後，集數學家、物理學家和天文學家於一身的最後一個通才。
先看龐加萊在天文學領域的貢獻
1887年，瑞典國王懸賞了高額獎金，求解一個已經困擾了天文學、物理學界200多年的天體物理問題——三體問題。很快龐加萊就簡化了三體問題，取得了突破性的進展，並在第二年就獲得了獎金。這時的龐加萊只有33歲，1年前他剛剛成為法蘭西科學院院士，9年後就成為科學院院長！
龐加萊還發現，即使被簡化的三體系統，只要微小的擾動，就會極大的改變天體的循行，使其行為完全無法預測。這一發現導致了一個全新的科學分支——混沌理論——的誕生。
圖片出處：Lindner Gallery
在科幻小說【三體】中，三體人所居住的太陽系有三個太陽，這三個太陽的重力攝動使三體人星球的執行混亂而無規律，也導致三體文明多次陷入淪陷。小說的這個神奇設定就來自於三體問題的混沌現象，只是這已經不是三體問題了，而是更為復雜的四體問題了，四體人？或者叫三星系思密達人？
下圖是NASA的藝術家為三星思密達系統（HD 188753）繪制的藝術想象圖。
圖片來源：NASA JPL http:// photojournal.jpl.nasa.gov /catalog/PIA03520
圖片的視角是在巨型氣態行星(HD 188553 Ab)的月亮上。巨行星占滿了半個天空，三顆太陽炙烤了一天，正緩緩的落下，煉獄般的一天終於結束了。巖石透著暗紅就像燒紅的烙鐵，火山口不停的冒著煙氣。太陽沒落下就能看到漫天繁星，說明大氣稀薄，無法保持熱量，很快又是一個零下100多度的極寒之夜吧！
「歐巴！我好冷！」
「我要讓全宇宙知道，這個火山口被你承包了！」一腳踹出，整容女飛出美麗的弧線，消融在巖漿裏……
影片為三星日落的動畫效果
三個太陽的外星世界 http://v.youku.com/v_show/id_XODY2ODA0ODAw.html看到這都累了，所以輕松一下，也讓不了三體問題的人有點感性認識，下面繼續回到龐加萊。
龐加萊在物理學屆的地位如何？
先看一張物理愛好者都知道的巨星合影：
這是1927年的第五屆索爾維會議，巨星環繞、居中而坐的就是物理宗師愛因斯坦。
再來看16年前的1911年第一屆索爾維會議，右邊第二的愛因斯坦還是面帶羞澀的青年物理學家。
而坐在愛因斯坦前面，根本不鳥攝影師，只顧著和居禮夫人聊天的人，就是龐加萊大神。
龐加萊在物理學界貢獻之一是狹義相對論。1905年，龐加萊發表的相對論的第一篇論文比愛因斯坦的論文還要早1個月。有些數學家對愛因斯坦就不服氣，認為只要有龐加萊、洛侖茲等人，相對論也可以搞出來。於是愛因斯坦又憋了9年的大招，終於在1915年獨創性的提出了廣義相對論，這時的他已經能夠傲視那個時代所有的科學家。他忍不住牛X哄哄的說：
如果我不發現狹義相對論，5年以內肯定會有人發現它。如果我不發現廣義相對論， 50年內 也不會有人發現它。NND，總算給物理學家出了口惡氣！
不管怎樣，憑著從三體問題到狹義相對論的諸多開創性成就，龐加萊的物理大師地位是當之無愧的。
可是為什麽在19世紀末，大家都已經對高斯之後出現通才不報希望的時候，龐加萊卻能以數學全能、跨界天文、物理的通才身份橫空出世呢？
他的成長歷程和思維方式有什麽獨到之處？
本來想寫一個超長答案，慢慢的寫。但最近的一個意外，讓我意識到這樣寫非常非常的不劃算。
因為超長的文章閱讀體驗差，不利於傳播，甚至會出現被人掐頭去尾的剽竊、據為己有的情況，這真讓我心灰意冷。
與其讓別人來「編寫」我的文章，還不如自己動手把文章縮短。這篇已經夠長了，接下來我會補充一些內容，分拆成多篇文章，分散到不同的問題下：
- 數學王子高斯是如何成為天才的？
- 天才、天賦是來自先天還是後天？
- 父母如何做才能快速毀掉一個潛在的天才？
- 天才在什麽樣的土壤裏和環境下才可能成長？
- 天才的大腦是功率高還是效率高？
- 為什麽龐加萊能成為通才？
- 為什麽龐加萊是最後一個通才？
- 現代的數學教育出了什麽問題？
- 如何才能降低學習數學的思維成本？
- 什麽是思維的成本？
這些問題我會逐一整理和回答，關註我的人就能在時間線裏看到這些回答了。
每完善完一個答案，我就整理到知乎專欄【教育成本】裏，便於大家逐篇閱讀。
如果有什麽問題我沒列出，你也可以提問然後邀請我回答，也可以在評論區評論。但不建議私信，特別是很私人的求助，我不保證回答。
關於知乎專欄【教育成本】
曾有人分析過知乎萬贊答案匯總以及排名，唯一一個靠講科學知識拿到萬贊的答案，是我在問題【數學裏的 e 為什麽叫做自然底數？】下的回答，這也是數學話題下排名第一的答案。
雖是一篇超長文章，很多人卻也「痛快」的看完，還有人居然在手機上閱讀，估計雙眼已瞎^_^
回答下有1000多條評論，其中最多的是：如果當年老師這樣教數學，我的數學就不會……
其實大家很明白，不是不喜歡數學，而是一直以來，數學的學習成本太高。
在知乎數學話題下就有一個問題：「數學是形而上學嗎？」
排名第一的回答赫然寫著：
反正我覺得確實是行而上學，不行退學……該回答得了3000多個贊，不知道點贊的人是不是秀智商，反正我看到後沒有一絲的優越感，反而心中一沈。需要做點什麽來改變這個糟糕的局面，讓更多的人愛上和擁抱數學，體會到數學其實是最能讓心智獲得自由的學科。
而這就是【教育成本】這篇專欄的目標，發現那些最消耗成本的教育環節，打通其中的瓶頸，讓更多人獲得心智的自由。
參考資料
- 【走近高斯 】
- 世界數學名人
-
【世界因你不同】
- 老版的【數學精英 】或新版的【數學大師——從芝諾到龐加萊 】
-
【高斯的內蘊微分幾何與非歐幾何】
-
【彭加勒——通才的絕唱 】
- 天才數學家陶哲軒
- 「三體」問題新突破 物理學家找到13族特解
- 趙崢教授：愛因斯坦與相對論
