嚴格意義上來說，還真不是只能等於2的……
討論這個問題之前，我們必須先明確"1+1=2"這個式子裏每個元素指代的是什麽：
"1"和"2"是兩個數碼，按一般的意義，認為"2"是"1"的後繼自然數；否則，問題在常規認知下即不成立，沒有繼續討論的必要了；
"="是一個邏輯表達，在其兩端的元素完全等價，即使它們的表示方式可能存在差異；
那麽……"+"是什麽呢？按一般的認知， a+b
是指"取 a
的第 b
個後繼數"，但它的定義一定是這樣嗎？
按照線性空間的表述，對於元素 a,b,c
與空間 V
，構成"加法"只需要滿足以下條件：
1."加法"對空間封閉： \forall a,b \in V , a+b \in V
；
2."加法"可交換： \forall a,b \in V, a+b=b+a
；
3."加法"可結合： \forall a,b,c \in V, (a+b)+c=a+(b+c)
；
4."加法"存在零元： \exists a_{0} \in V, \forall a \in V, a+a_{0}=a
；
5."加法"存在逆元： \forall a \in V, \exist a^{'} \in V, a+a^{'}=a_{0}
另外，在此空間 V
下的"乘法"只需額外滿足以下條件(由於"乘法"的定義對"加法"有一定的要求，所以在這裏也一並提出)：
6."乘法"對空間封閉： \forall a,b \in V, a\times b \in V
;
7."乘法"可結合： \forall a,b,c \in V,(a \times b) \times c=a \times (b \times c)
；
8."乘法"存在單位元： \exist a_{1} \in V, \forall a \in V, a \times a_{1}=a
；
9."乘法"與之前定義的"加法"可分配： \forall a,b,c \in V, (a+b) \times c=a \times c+b\times c 且 a \times (b+c)=a \times b+a\times c
我們在小學的時候就已經學過，按取後繼數方式的定義的"加法"和將連續相加轉寫的"乘法"，也就是"+"與"×"，是必然可以滿足以上條件的。
但既然定義沒有描述唯一性，那麽滿足以上定義的運演算法則必然不是只有一種。接下來舉一個簡單一點的例子，為區別常規的"加法"與"乘法"，這裏的"加法"與"乘法"以" \oplus
"與" \otimes
"表示。(見於【高等代數與解析幾何】課後習題）
在空間 N^{+}
中，定義 a \oplus b=ab ,a \otimes b=a^{b}
。
可以證明這個運演算法則定義完全可以滿足以上對"加法"與"乘法"的所有要求——那麽，在這個空間與這個運演算法則下，有 1\oplus1=1
成立。
相應地，選取一些別的空間(只要這個空間裏還有"1"和"2"這兩個元素)，再透過別的方式定義"加法"(按題目要求，甚至可以不存在這個定義下的"乘法")，1"+"1可能得到各種意料之外的結果。
