連心力場
正所謂 有心 ，運動的質點在連心力場 中受作用力始終透過一個固定點，而這個點就是 力心 。
比耐公式
\vec{F}=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)\vec{e_{r}} （其中 u=\frac{1}{r} , h=r^{2}\dot{\theta} ）這就是 比耐公式 。而接下來我們就要來推導它。
我們知道質點在連心力場中的運動可以表示為 m\vec{a}=\vec{F} 。而對於一個連心力場來說力的方向是不斷變化的。於是我們引入一個 極座標 ，而 極點 就選取 力心 。
在極座標中 位矢 有表示： \vec{r}=r\vec{e_{r}} 。
既然要求力，就必須求出位矢 的二階導，這就是我們的思路。於是我們在正交中把徑向和切向的基向量的 一階導 和 二階導 搞定。
在 正交系 中。我們選取x方向為 \vec{i} ,y方向 為 \vec{j} 。
於是有 \begin{eqnarray} \begin{cases} \vec{e_{r}}=cos\theta\vec{i}+sin\theta\vec{j}& \\ \vec{e_{\theta}}=-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j}& \end{cases} \end{eqnarray}
對它求導，於是有 \begin{eqnarray} \begin{cases} \dot{\vec{e_{r}}}=(-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j})\dot{\theta}& \\ \dot{\vec{e_{\theta}}}=-(cos\theta\vec{i}+sin\theta\vec{j})\dot{\theta}& \end{cases} \end{eqnarray}
所以我們有結論： \begin{eqnarray} \begin{cases} \dot{\vec{e_{r}}}=\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}& \\ \dot{\vec{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{e_{r}}& \end{cases} \end{eqnarray}
所以我們對位矢求導,這才是我們的 目的 。
\dot{\vec{r}}=\dot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}
再 求導 並 整理
\ddot{\vec{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}
那麽我們代入質點的 動力學方程式 。
\vec{F}=m[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}]
而我們知道的是，力始終經過 力心 。所以 \vec{F}\cdot\vec{e_{\theta}}=0
所以 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0
利用一點數學方法，我們乘一個 r ，可以得到：
2r\dot{r}\dot{\theta}+r^{2}\ddot{\theta}=\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})=0
所以我們知道了一個事實： r^{2}\dot{\theta} 是定值，這也就是角動量守恒 。我們令這個值為 h 。
回到我們的 動力學方程式 上去： \vec{F}=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}
化成純量 以便我們討論： F=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})
同時化簡一下以便我們討論： \dot{\theta}=\frac{h}{r^{2}} ，我們討厭分式 ，所以令 u=\frac{1}{r} 。所以 \dot{\theta}=hu^{2}
\dot{r}=\frac{d(\frac{1}{u})}{dt}=\frac{d(\frac{1}{u})}{du}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta}=-h\frac{du}{d\theta}
再次求導
\ddot{r}=\frac{d}{dt}(-h\frac{du}{d\theta})=-h^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}u^{2}
r\dot{\theta}^{2}=h^{2}u^{3}
那麽我們就得到了式子： F=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)
寫成向量式 得到比耐公式： \vec{F}=-mh^2u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u)\vec{e_{r}}
這就是我們的比耐公式了。我們可以用它來推導牛頓萬有重力定律 。
